Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in S(1/2) Sattelpunkt!

Question

ich brauche Hilfe zu meiner Hausaufgabe, die ich morgen abgeben muss :/ 

Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat in S(1|2) einen Sattelpunkt.

Könnte mir jemand die Lösung schicken? Bis jetzt bin ich soweit gekommen .. 

f(x) = ax³+bx²+cx+d

f´(x) = 3ax²+2bx+c

f´´(x) = 6ax+2b

f´´´(x) = 6a

 

Eigenschaften         Bedingung       Gleichung                          

S(1|2)                         f(1) = 2              a*x³+b*x²+c*x+d = 2                         a+b+c+d = 2

                                   f´(1) = 0             3a*x²+2b*x+c = 0                              3a+2b+c = 0

                                    f´´(1) = 0            6a*x+2b = 0                                        6a+2b = 0

 

Ich verstehe jetzt überhaupt nicht wie ich das d wegkürzen kann und wie ich weiter komme..

Ich hoffe mir kann jemand schnell helfen. Danke jetzt schonmal :)

Comments

d ist 0, da die Kurve durch den Ursprung geht!

d ist ja der y-Achsenabschnitt deiner Kurve.

Answer 1

 

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat in S(1|2) einen Sattelpunkt.

f(x) = ax³+bx²+cx+d

f´(x) = 3ax²+2bx+c

f´´(x) = 6ax+2b

f´´´(x) = 6a

 

Soweit alles richtig :-)

Der Graph geht durch den Ursprung:

f(0) = 0 = d

Er geht durch (1|2)

f(1) = a + b + c = 2

Er hat dort einen Sattelpunkt, d.h. f'(1) = 0 und f''(1) = 0: 

f'(1) = 0 = 3a + 2b + c

f''(1) = 0 = 6a + 2b

a = 2

b = -6

c = 6

f(x) = 2x³ - 6x² + 6

 

 

Besten Gruß

Comments

Sehr gern geschehen!!

Freut mich, wenn ich helfen konnte :-)

Answer 2

Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx

und hat in S(1|2) einen Sattelpunkt.

f(1) = 2
a + b + c = 2

f'(1) = 0
3·a + 2·b + c = 0

f''(1) = 0
6·a + 2·b = 0

Das LGS hat die Lösung a = 2 ∧ b = -6 ∧ c = 6

Damit lautet die Funktion

f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x

Comments

Um Himmels Willen wieso ist b -6?

Answer 3

"Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat in S(1|2) einen Sattelpunkt."

Sattelpunkt \(S(1|2) → S´(1|0) \)  dreifache Nullstelle:

\(f(x)=a*(x-1)^3\)

\(U(0|0)→U´(0|-2)\)

\(f(0)=a*(0-1)^3=-a\)

\(-a=-2\) →   \(a=2\)

\(f(x)=2*(x-1)^3\)

\(p(x)=2*(x-1)^3+2\)

Answer 4

Da der Sattelpunkt einer ganzrationalen Funktion dritten Grades auch der Symmetriepunkt des Graphen ist, lässt sich die Situation vereinfachen, indem der Graph so verschoben wird, dass der Sattelpunkt im Ursprung liegt. Die so verschobene Funktion ist dann eine Potenzfunktion der Form $$g(x)=a\cdot x^3.$$ Der ehemalige Nullpunkt ist nun der Punkt \(\left(-1\vert -2\right)\). Damit folgt durch Einsetzen \(a=2\). Nun wollen wir durch Zurückverschieben eine Gleichung von \(f\) gewinnen: Es gilt $$f(x)=g(x-1)+2=2\cdot\left(x-1\right)^3+2$$ und wir sind fertig.