Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in P (-1|13/3) … Bestimmen Sie die Funktionsgleichung

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in P (-1|13/3) einen Tiefpunkt. An der Stelle x = 2 liegt ein Wendepunkt mit einer Tangente vor, die Parallel zu der Geraden mit y = 18 x + 3 verläuft.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion dritten Grades.

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

hat in P (-1|13/3) einen Tiefpunkt.

f(-1) = 13/3
-a + b - c + d = 13/3

f'(-1) = 0
3·a - 2·b + c = 0

An der Stelle x = 2 liegt ein Wendepunkt

f''(2) = 0
12·a + 2·b = 0

mit einer Tangente vor, die Parallel zu der Geraden mit y = 18 x + 3 verläuft.

f'(2) = 18
12·a + 4·b + c = 18

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion dritten Grades.

-a + b - c + d = 13/3
3·a - 2·b + c = 0
12·a + 2·b = 0
12·a + 4·b + c = 18

Das LGS liefert mit dem Gauss-Verfahren die Lösung

a = -2/3 ∧ b = 4 ∧ c = 10 ∧ d = 29/3

 

f(x) = -2/3x^3 + 4x^2 + 10x + 29/3

 

Comments

Ich habe vorhin gemerkt, dass ich die Antworten habe. Auf dem Blatt beinhaltet es keinen Rechenweg nur die Antwort.

Ich habe gemerkt, dass der Schluss der Antwort falsch ist.

Auf dem Blatt steht: f(x)= -2/3x^3 + 4x^2 + 10x +1

Kannst du mir das bitte irgendwie erklären?

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Das kann ich nicht. Denn wenn ich meine Funktion zeichne. Stimmen die Bedingungen.

Folglich müsste ich schließen, das die Lösung einen Fehler hat.

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in P (-1|13/3) einen Tiefpunkt. An der Stelle x = 2 liegt ein Wendepunkt mit einer Tangente vor, die Parallel zu der Geraden mit y = 18 x + 3 verläuft.

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.

f ' (x) = 3ax^2 + 2bx + c

f ''(x) = 6ax + 2b

Aus Symmetriegründen liegt der Hochpunkt bei Q(5| q).

(x+1) und (x-5) müssen Faktoren von f ' (x) sein.

D.h. f '(x) = 3a (x+1)(x-5) = 3a( x^2 - 4x - 5) = 3ax^2 - 12ax - 15a

Vgl. mit f'(x) . c=-15a. 2b = - 12a; b = -6a

Parallelität zur Geraden heisst f '(2) = 18 

Also 18 = 3a*(3)(-3) = -27a.

Deshalb a= -2/3. 

Einsetzen: c= 10

b = 4

Nun den Tiefpunktkoordinaten noch in f(x) einsetzen

13/3 = -2/3(-1) + 4 +10(-1) + d

13/3 = 2/3 + 4 - 10 + d

29/3 = d.

Achtung: Sorgfältig nachrechnen. Rechenfehler bitte melden.

Oder einfach die Rechnung von Mathecoach nachrechnen.

Comments

Aus Symmetriegründen liegt der Hochpunkt bei Q(4| q).

Hier müsste es Q(5 | q) lauten. Ansonsten eine super Lösung.

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Mist. Danke. Ich komme jetzt tatsächlich auf dasselbe ;)

Answer 3

"Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in \(P (-1| \frac{13}{3} \) ) einen Tiefpunkt. An der Stelle \(x = 2\) liegt ein Wendepunkt mit einer Tangente vor, die Parallel zu der Geraden mit \(y = 18 x + 3\) verläuft."

Tiefpunkt \(P (-1| \frac{13}{3} \) ) →Tiefpunkt \(P´ (-1| 0\) ) doppelte Nullstelle

\(f(x)=a*(x+1)^2*(x-N)\)

\(f´(x)=a*[(2x+2)*(x-N)+(x+1)^2]\)

Wendestelle bei: \(x=2\)

\(f´´(x)=a*[(2x-2N)+(2x+2)+2*(x+1)]\)

\(f´´(x)=a*[(2x-2N)+4x+4]\)

\(f´´(2)=a*[(4-2N)+12]=0\)         \(N=8\)

\(f´(x)=a*[(2x+2)*(x-8)+(x+1)^2]\)

Steigung Wendetangente \(m=18\)

\(f´(2)=a*(-27)=18\)    \(a=-\frac{2}{3}\)

\(f(x)=-\frac{2}{3}*(x+1)^2*(x-8)\)

\(p(x)=-\frac{2}{3}*(x+1)^2*(x-8)+\frac{13}{3} \)