Bestimmen einer Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

Question

Hey!

Ich verzweifle gerade an der folgenden Matheaufgabe und hoffe, dass mir hier vielleicht jemand weiter helfen kann.

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in W(0Ι3) einen Wendepunkt und ich T(1Ι1) einen Tiefpunkt hat.

Die Bedingungen habe ich schon aufgestellt, komme aber jetzt einfach nicht weiter.

f(x)= ax³+bx²+cx+d

f'(x)= 3ax²+2bx+c

f''(x)= 6ax+2b

Im Matheunterricht haben wir als nächstes  (1),(2),(3) und so weiter aufgestellt…..

Kann mir jemand weiterhelfen??

Answer 1

dann tun wir doch genau das:

f(0) = 3      (wegen W)

f''(0) = 0     (wegen Wendepunktbedingung)

f(1) = 1      (wegen T)

f'(1) = 0     (wegen Extrempunktbedingung)

Sich ergebendes Gleichungssystem:

d = 3

2b = 0

a + b + c + d = 1

3a + 2b + c = 0

Gelöst:

f(x) = x^3 - 3x + 3

Grüße

Comments

Schonmal vielen Dank für deine Mühe mir zu helfen, aber kannst du mi vielleicht erläutern wie du auf die Gleichungssysteme kommst?

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Ich habe das nur in die von Dir vorbereiteten Funktionsgleichungen eingesetzt ;).

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Entweder steh ich auf dem Schlauch oder verstehe es einfach nicht :D 

Bei mir überall nur 0 raus, ich glaube ich rechne falsch :o :D

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Zeig mal wie das bei Dir aussieht ;).

Answer 2

"Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in \(W(0|3)\) einen Wendepunkt und ich \(T(1|1)\) einen Tiefpunkt hat."

Ich veschiebe den Graphen von\(f(x)\) um 1 Einheit nach unten:

\(T(1|1)\)→\(T´(1|0)\)  doppelte Nullstelle       \(W(0|3)\)→\(W´(0|2)\)     Somit \(H´(-1|4)\)

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-a*N=2\)    

1.)\(a=-\frac{2}{N}\)   

\(f(-1)=-\frac{2}{N}*(-1-1)^2*(-1-N)=4\)  →\(-\frac{2}{N}*4*(-1-N)=4\)→

→\(-\frac{2}{N}*(-1-N)=1\)→\(\frac{2}{N}*(1+N)=1\)    

2.)→\(N=-2\)    ∈ 1.) \(a=-\frac{2}{-2}=1\) 

\(f(x)=(x-1)^2*(x+2)\)

\(p(x)=(x-1)^2*(x+2)+1\)   mit  \(H(-1|5)\)