Bestimmen sie den funktionsterm f(x) derjenigen ganzrationalen dritten und vierten Grades

Question

Dritten Grades:

1. deren höchster Koeffizient dem Wert 1 hat und deren Graph in (0/-2) einen Wendepunkt und einen zur Geraden g mit g(x)=-3x parallele Wendetangente hat.

2. deren Graph den Hochpunkt (1/5) und den Wendepunkt (2/3) besitzt.

3. deren Graph im Ursprung die x-Achse berührt und in (-3/0) eine zur Geraden g mit g(x)= 6x paralle Tangente hat.

Vierten Grades:

1.deren Graph im Punkt (0/0) einen Sattelpunkt und im Punkt (3/27) einen Tiefpunkt hat.

2. deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und in (2/0) einen Wendepunkt mit der Steigung -8 besitzt.

3. deren Graph in (0/0) einen Wendepunkt mit der Steigung -2 und im Kurvenpunkt (2/0) die Steigung 12 hat.

Ich habe wirklich keine Ahnung wie diese Aufgaben gehen und würde mich deshalb über jede Hilfe freuen!!

Answer 1

Immer erst mal eine Ansatz aufschreiben, also bei

Dritten Grades:

1. deren höchster Koeffizient dem Wert 1 hat und deren Graph in (0/-2) einen Wendepunkt und einen zur Geraden g mit g(x)=-3x parallele Wendetangente hat.

f(x) = ax³  +  bx²  +cx   +d    und dann den Text analysieren:

höchster Koeffizient dem Wert 1    ⇒     a=1 

deren Graph in (0/-2)        f(0) = 2    also  0³  +  b0²  +c0   +d  = 2
                                                           also  d = 2

deren Graph in (0/-2) einen Wendepunkt     f ' ' ( 0 ) =  0

wegen f ' (x) =  3x² + 2bx  +  c          f ' ' (x) =  6x  +  2b   

 also            6*0+2b  =  0       also   b=0 .


g mit g(x)=-3x parallele Wendetangente heißt

       f ' (0) =  -3               3*0 + 2b*0  +  c   =   -3 

Also    f(x)  =     x³  +  -3x   +  2  

Probier mal eine der anderen und stell sie rein.

Comments

Dankeschön! Jedoch weiß ich immer noch nicht wie ich immer noch nicht wie ich bei den anderen vorgehen muss da die Aufgaben immer anders sind.

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wenn du die Koordinaten eines Punktes (a;b) hast,  dann ist immer

f(a) = b

Wenn irgendwo bei  ( a;?) ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, dann ist f ' (a) = 0

und bei Wendep   f ' ' (a) = 0

Damit schaffst du jedenfalls:

3.Grades  Nr. 2

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ich komme dann aber nur so weit:

f(1)= 5       a+b+c+d=5

f´(1)= 0      3a+2b+c=0

f (2)=3       8a+4b+2c+d=3

f´´(2)=0      12a+4b=0

Und wie kriege ich daraus jetzt den Funktionsterm?

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Du hast doch jetzt 4 Gleichungen mit 4 Variablen.

Also sowas wie Gauss-Verfahren anwenden.

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Das Problem ist, dass wir noch nie das Gauss verfahren gemacht haben

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Dann vielleicht Einsetzungverfahren:

Also etwa die letzte Gl. nach b auflösen und

in die 2. einsetzen gibt  b= - 3a

und  3a -6a+c=0  also  c = 3a

Beides in die übrigen beiden einsetzen, dann hast du

nur noch zwei Gleichungen mit 2 Var.

Das geht dann ja und du hast nachhera=-2     b=6     c=-6      d=7

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Dankeschön jetzt hab ich das auch endlich mal verstanden Haha !

Answer 2

Vierten Grades:
1.deren Graph im Punkt S\((0|0)\) einen Sattelpunkt und im Punkt T\((3|\red{-27})\) einen Tiefpunkt hat.

Punkt S\((0|0)\) einen Sattelpunkt. Da ist eine dreifache Nullstelle:

\(f(x)=ax^3(x-N)=a(x^4-Nx^3)\)

\(f'(x)=a(4x^3-3Nx^2)\)

Extrempunkteigenschaft T\((3|...)\):

\(f'(3)=a(108-27N)=0\)

\(N=4\):

\(f(x)=a(x^4-4x^3)\)

T\((3|-27)\):

\(f(3)=a(81-108)=-27a=-27\)

\(a=1\)

\(f(x)=x^4-4x^3\)