Restgliedabschätzung Taylorpolynom

Question

Wir haben Taylorpolynome und Restgliedabschätzung in der Vorlesung gehabt. Leider sehe ich beim Restgleid noch nicht wirklich durch.

Kann mir das vielleicht einer am folgenden Beispiel erklären?

S_4n+3 < sin(x) < S_4n+1

n∈ℕ, n≥0, x>0, im Punkt x₀=0, S_n ist das n-te Taylorpolynom von sin(x)

Ansatz/Problem:

Wie geht man hier vor?

Der Prof sagt immer Lagrange-Restglied. Gibt es auch andere?

Hoffe das kann mir jemand erklären.

Answer 1

Das gegebene Beispiel beschreibt eine Restgliedabschätzung für die Sinus-Funktion in Bezug auf ein bestimmtes Taylorpolynom.

Die Restgliedabschätzung gibt an, dass der Unterschied zwischen der Sinusfunktion und dem 4n+3-ten Taylorpolynom (S_{4n+3}) immer kleiner als Null ist und dass der Unterschied zwischen der Sinusfunktion und dem 4n+1-ten Taylorpolynom (S_{4n+1}) immer größer als Null ist.

Um diese Abschätzung zu berechnen, würde man zunächst das 4n+3-te und 4n+1-te Taylorpolynom berechnen, und dann den Unterschied zwischen diesen Polynomen und der tatsächlichen Sinusfunktion an dem gegebenen Punkt x0=0 berechnen.

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Abschätzung nur für bestimmte Werte von n und x gilt. Wenn man für einen anderen Wert von x oder n eine Abschätzung sucht, muss man das entsprechende Taylorpolynom neu berechnen und die Restgliedabschätzung neu berechnen.