Taylorpolynom mit anschließender Restgliedabschätzung

Question

Ich habe die Funktion gegeben:

\(f: (0, \infty) \rightarrow\mathbb{R} \\ f(x) = ln(x)\)

Nun soll ich mittels Restgliedabschätzung zeigen, dass für alle \(x \geq 1\) gilt:
\(|f(x)-T_2(x,1)| \leq \frac{1}{2}(x-1)^3\)



Anschließend soll noch gesagt werden, wieso \(T_2\) keine gute Näherung an ln(x) für Argumente x in der Nähe von 0 ist.

Habe leider keine Idee, wie ich hier vorgehen könnte, vielleicht kann mit jemand helfen..

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo

hast du den das TP für ln(x) für die Stelle x=1 hingeschrieben? welche Formel kennst du für das Restglied?  was ist damit für x<<1?

Gruß lul

Comments

Hi!
Ja das habe ich mittlerweile.

\(T_2 = x-1-\frac{1}{2}*(x-1)^2\)

Stimmt das?

Für das Restglied kenne ich:

\(\frac{f^{(n+1)}(ξ(x))}{(n+1)!} *(x-x_0)^{n+1}\)

Damit wäre das Restglied für n=2 doch folgendes:
\(\frac{1}{3*(ξ(x))^3} * (x-1)^3\)

Stimmt das immernoch?

Wie ich jetzt allerdings weitermache ist mit nicht ganz klar...