Fehlerabschätzung mithilfe des Restglieds (Taylorpolynom)

Question

Ich bräuchte Hilfe bei der Fehlerabschätzung mithilfe des Restglieds von einem Taylorpolynom.

Gegeben ist die Funktion f(x)=cosh(x²) und man soll zunächst das Taylorpolynom zweiter Ordnung in x₀=0 aufstellen. Dies ist p₂(x) = 1. Nun soll man den Fehler mithilfe des Restglieds im Intervall [-1;1] abschätzen.

Dies ist mein Ergebnis + Rechenweg:

max_1≤x,ξ≤1 | R₃(x) | = max_-1≤ξ≤1 ( | 12*ξ*cosh(ξ²) + 8*ξ³*sinh(ξ²) | / 6 ) * max_-1≤x≤1 | x³|

Also habe ich x und ξ = 1 gewählt, da dann der erste Faktor und der 2. Faktor maximal werden.

= (27,91857717 / 6) * 1 = 4,65309...

Dies bedeutet ja, dass der maximale Fehler in diesem Intervall 4,65309 beträgt. Berechne ich aber den absoluten maximalen Fehler, beträgt dieser | cosh(1) - 1 | = 0,543.

Was habe ich also oben bei meiner Rechnung falsch gemacht? Komme da nicht mehr weiter.

Hoffentlich kann mir jemand helfen.

Answer 1

Dies bedeutet ja, dass der maximale Fehler in diesem Intervall 4,65309 beträgt.

Nein. Das bedeutet, der maximale Fehler ist sicher < 4,6531. Das ist eine Fehlerabschaetzung nach oben. Wie gut die ist, steht auf einem anderen Blatt.