Taylorpolynom Fehlerabschätzung

Question

Aufgabe: Betrachten Sie f : (−1,∞) → R, x/(x+1). Scäatzen Sie den Fehler des Taylorpolynoms fur ¨ x ∈ [1, 3] ab, indem Sie zeigen,dass |R2(x, 2)| ≤ 1/16 gilt.

Problem/Ansatz: Also das Restglied ist ja definiert mit f(x) - Tn(x,a) also hier f(x) - T2(x,2)

Das zweite Taylorpolynom ist ja: (2/3 + (x-2)/9 – (x-2)^2 / 27 da sist allgemein, da a = 2 hier ist müsste ja gelten:

| R2(x, 2) | ≤ 1/16

| R2(x,2) | = | f(x) – T2(x,2) | = | f(x) – (2/3 + (2-2)/9 – (2-2)^2 / 27) | => | f(x) – 2/3 | <= 1/16

Wo ist mein Denkfehler?

Answer 1

Du hast noch nicht mal das Restglied vom Taylorpolynom 2. Ordnung notiert. Habt ihr das nie so gemacht?

T2(x) = f(2) + f'(2)/1!·(x - 2) + f''(2)/2!·(x - 2)^2
T2(x) = 2/3 + 1/9·(x - 2) - 1/27·(x - 2)^2

R2(x) = f'''(c)/3!·(x - 2)^3
|R2(x)| = |1/(c + 1)^4·(x - 2)^3| ≤ 1/16

Comments

Das Restglied ist doch so definiert: f(x) - Tn(x,a) also hier f(x) - T2(x,2) und T2(x,a) ist (2/3 + (x-2)/9 – (x-2)^2 / 27

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Schau mal auf

https://www.mathematik.net/reihen-taylor-polynome/tp3s20.htm

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Okay, aber so hatten wir das nie

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Okay, aber so hatten wir das nie.

Ja, das kenne ich von vielen Schülern.

Bei Schülern akzeptiere ich das als Angabe. Bei Studenten nicht, denn die sollten in der Lage sein, Ihr Skript, ein Buch, das Web oder gar ChatGPT zu befragen.

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Okay, bin aber Schüler :(

Sorry hat mich nur verwirrt

Aber wie kann man das einfach so sagen: R2(x) = 1/(c + 1)4·(x - 2)3 ≤ 1/16 muss man es nicht noch beweisen?

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|1/(c + 1)^4·(x - 2)^3|

Für welchen Wert c aus dem Intervall wird der Term |1/(c + 1)^4| am größten.

Für welchen Wert x aus dem Intervall wird |(x - 2)^3| am größten.

Welchen Wert ergibt also der maximale Termwert für |1/(c + 1)^4·(x - 2)^3| ?

PS: Hab noch ein paar Betragsstriche ergänzt.

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Ah für den ersten c = 1 also = 1/16 und für den zweiten Teil c = 3, also 1 und das ergibt 1/16 vielen Dank für deine Zeit und deine Hilfe