Aufgabe
Bestimmen Sie einen Näherungswert für \(\ln 3\), indem Sie die Funktion \(f: D \to \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R} \operatorname{mit} f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}\) an der Stelle \(x^{*}=0 \) in ein Taylorpolynom 4. Grades entwickeln und schätzen Sie den Fehler mithilfe des Restgliedes ab.
Ansatz
Ich habe die ersten 4 Ableitungen gebildet und dann in das Taylorpolynom $$T_{a, n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a) \cdot (x-a)^{k}}{k !}$$ eingesetzt:
$$T_{0, 4}(x)= \frac{f^{(0)}(0) \cdot (x-0)^{0}}{0 !}+\frac{f^{(1)}(0) \cdot (x-0)^{1}}{1!}+\frac{f^{(2)}(0) \cdot (x-0)^{2}}{2!}+\frac{f^{(3)}(0) \cdot (x-0)^{3}}{3 !}+\frac{f^{(4)}(0) \cdot (x-0)^{4}}{4 !}$$
$$T_{0, 4}(x)= \frac{\ln(1) \cdot 1}{1}+\frac{2\cdot x}{1}+\frac{0 \cdot x^2}{2}+\frac{4 \cdot x^3}{6}+\frac{0\cdot x^4}{24}$$
$$T_{0,4}(x)=0+2x+0+\frac{2}{3}x^3+0$$
\(R_n(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}-(2x+\frac{2}{3}x^3)\)
Nun soll ich aber noch den Fehler mithilfe des Restgliedes abschätzen. Das hatten wir folgendermaßen definiert:
Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\), und sei \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion, die an der Stelle \(x^{\star} \in D\) mindestens \(n\)-mal differenzierbar ist. Der "Fehler" \(R_{n}(x)=f(x)-T_{n}\left(x^{\star} ; x\right)\) heißt Restglied.
Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\) und sei \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) eine \((n+1)\)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt: \(\lvert R_{n}(x)\rvert=\lvert f(x)-T_{n}\left(x^{\star} ,x\right)\rvert \leq \frac{M}{(n+1) !}\lvert x-x^{\star}\rvert^{n+1}\) wobei \(M\) so gewählt ist, dass \(\lvert f^{(n+1)}(x)\rvert \leq M\) für alle \(x \in D\).
Leider komme ich mit der Abschätzung nicht zurecht, d.h. ich bräuchte Hilfe dabei. Woher weiß ich denn, wie ich den Fehler abschätzen kann? (Das Restglied habe ich ja schon bestimmt, nur weiß ich nicht, wie ich das \(M\) wählen soll.)
