Körper (K,+,°). Rechenregel m,n∈ℕ ∀x,y∈K: (m*x)°(n*y) = (m•n)*(x°y) beweisen?

Question

Aufgabe:

Sei (K,+,°) ein Körper. Definiert wird zudem ∀x∈K: n*x = x+x+x...+x (n-mal) , falls n≠0 ist.

Zeigen Sie: m,n∈ℕ ∀x,y∈K: (m*x)°(n*y) = (m•n)*(x°y)

"•" ist hier die Multiplikation zwischen zwei ganzen Zahlen.

Problem/Ansatz:

Nach Definition von n*x folgt für den Ausdruck:

(x+x+...+x) ° (y+y+...+y) = ((x°y)+(x°y)+...+(x°y))

(m•x)°(n•y)=(n•m)•(x°y)

Aber wie man das jetzt genau mit den Körpereigenschaften zeigen kann, weiß ich nicht. Ich hab schon einiges versucht, bin aber auf nichts sinnvolles gekommen :/

Comments

"•" ist hier die Multiplikation zwischen zwei ganzen Zahlen.

Und was ist mit den andern "Beinahe-Punkten" ? Z.B. ° ? Eine Vektormultiplikation oder so was?

---

Damit ist die Multiplikation im Körper gemeint

Answer 1

Nach Definition von n*x folgt für den Ausdruck:

(x+x+...+x) ° (y+y+...+y) = ((x°y)+(x°y)+...+(x°y)) stimmt nicht ganz

1x Distributivgesetz anwenden gibt

(x°y+x°y+...+x°y)  + (x+x+...+x) ° (y+...+y)   [ m in der ersten Klammer und
                                                                  m in der zweiten und  n-1 in der dritten]

Dann auf 2. und 3. nochmal Dist. anwenden gibt

(x°y+x°y+...+x°y)  +(x°y+x°y+...+x°y)+ (x+x+...+x) ° (y+...+y)

[ m in den ersten 3 Klammer und   n-2 in der dritten] etc..

immer weiter, bis in der letzeten erst nur ein y ist und nach der nächsten

Anwendung nur noch  x°y Terme da stehen. Das sind dann n•m Stück.

Comments

(x+x+...+x) ° (y+y+...+y) = ((x°y)+(x°y)+...+(x°y))

Warum stimmt das nicht?

---

Kommt drauf an wie viele das sein sollen.

---

Das erste n-mal, das zweite n-mal und das dritte rechts vom = (n•m)- mal

---

(x°y+x°y+...+x°y)  + (x+x+...+x) ° (y+...+y)  [ m in der ersten Klammer und
                                                                  m in der zweiten und  n-1 in der dritten]

Ich verstehe nicht genau, wie Du darauf kommst :/

---

Teile die 2. Klammer auf

(  y+    (y+...+y)  ) und verwende Distributiv!

---

Hast Du ein y rausgezogen?

Sry, Aber mir ist nicht ganz klar, was Du da machst?

---

Hab verstanden, was Du machst.

Eigentlich ist es doch nur: (m•x)°(n•y) = (m•n)•(x°y)

Aber das ist doch kein Beweis

---

Ganz ordentlich geht es wohl nur mit vollst. Induktion.

---

Unser Tutor meinte, das ließe sich in ein paar Zeilen beweisen.

Answer 2

Hallo

 das einzige was du brauchst ist doch um die Klammer auszumustern. die Distributiv, und für manche noch das Kommutativ Gesetz.

Gruß lul

Comments

Hab ich schon versucht, kommt aber nichts sinnvolles raus :/