Rechenregel beweisen x*z^-1 = (y*x) * (y*z)^-1

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die Folgerung:

Ist z ∈ ℝ, y, z ≠ 0, so gilt:

x*\( z^{-1} \) = (y*x) * \( (y*z)^{-1} \)

Problem/Ansatz:

Wie bereits oben beschrieben soll ich zu dieser Folgerung den Beweis erbringen, nur habe ich grade wirklich keine Ahnung, wie ich das machen soll.

Angefangen hatte ich mit:

\( \frac{x}{z} \)  = \( \frac{y*x}{y*z} \)  offensichtlich kann das y beliebig sein, solange es nicht 0 ist, da es sich selbst eliminiert.

Klar könnte man das y weglassen und hätte dann \( \frac{x}{z} \) = \( \frac{x}{z} \) aber das scheint mir zu schwach zu sein als Beweis für das 1. Semester im Mathematik Studium.

Ich bedanke mich schon im Voraus für eure Antworten.

Answer 1

Aloha :)

Ich nehme mal an, dass ihr die Körper-Axiome besprochen habt, sodass wir darauf aufbauen können. Betrachte zunächst:

$$\left.(zy)(zy)^{-1}=1\quad\right|\;\cdot z^{-1}\;\;\text{von links multiplizieren}$$$$\left.z^{-1}(zy)(zy)^{-1}=z^{-1}\cdot1\quad\right|\;\text{Assoziativgesetz}$$$$\left.\underbrace{(z^{-1}z)}_{=1}y(zy)^{-1}=z^{-1}\cdot1\quad\right|\;\cdot y^{-1}\;\;\text{von links multiplizieren}$$$$\left.\underbrace{y^{-1}y}_{=1}(zy)^{-1}=y^{-1}z^{-1}\quad\right.$$$$(zy)^{-1}=y^{-1}z^{-1}$$Da in \(\mathbb{R}\) zusätzlich das Kommutativgesetz gilt, ist sogar:$$y^{-1}z^{-1}=(zy)^{-1}=(yz)^{-1}$$Damit ist die Behauptung schnell bewiesen:$$xz^{-1}=x\underbrace{(yy^{-1})}_{=1}z^{-1}=(xy)(y^{-1}z^{-1})=(xy)(yz)^{-1}$$

Comments

Vielen herzlichen Dank! Dass ich hier die Körper Axiome anwenden kann zum Beweisen hatte ich nicht auf dem Schirm ;)