Taylorreihe angeben, Abschätzen des Restglieds

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktion f(x) = x+1/(x-1) im Intervall (-∞,0]

Zuerst sollte man das Taylerpolynom dritter Ordnung bestimmen mit dem Entwicklungspunkt x= -1. Das ist -1/2x-1/4x^2-1/8x^3. Nun soll man die dazugehörige Taylorreihe angeben und durch Abschätzen des Restglieds beweisen, dass T(f,0,-1= = f(0) gilt.

Ich weiß leider nicht wie man eine Taylorreihe berechnet und das mit dem Abschätzen verstehe ich erst recht nicht. Über Ansätze wäre ich sehr dankbar.

Comments

Wir sollten erst mal klären wie die Funktion aus sieht. Ist es \( \frac{x+1}{x-1} \) oder \( x + \frac{1}{x-1} \)

In beiden Fällen stimmt aber Deine Reihenentwicklung nicht.

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Es ist : (x+1)/(x-1)

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Schön, und was soll jetzt bitte \( T(f,0,-1= = f(0) \) bedeuten? Üblicherweise gibt man beim Taylorpolynom den Grad und den Entwicklungspunkt an. Also z.B. \( T_n f(x,a) \) was bedeutet, Taylorreihe bis zur Ordnung 3 und Entwicklungspunkt \( a \) Meinst Du damit vielleicht \(  T_3(f(0,-1)) \)? Vielleicht tippst Du die Aufgabe mal richtig ab!

Die Taylorreihe sieht so aus

$$ -\frac{x+1}{2} - \frac{ (x+1)^2 }{4} - \frac{ (x+1)^3 }{8} $$

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In der Aufgabe steht die Gleichung : T(f,0,-1) = f(0), die zu beweisen ist.

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Hallo,

aus der Aufgabenstellung entnehme ich, dass für die Funktion f die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt \(x_0=-1\) zu bestimmen ist. Diese wird wohl mit \(T(f,x,-1)\) bezeichnet. Dann stellt sich die Frage, ob x=0 zu dem Bereich gehört, in dem die Taylorreihe gegen den Funktionswert von f konvergiert, das ist die Frage, ob \(T(f,0,-1)=f(0)\) ist.

Dafür gibt es 2 Wege:

1. Berechnung der Taylorreihe mit Hilfe der geometrischen Reihe und direkte Auswertung (wenn möglich) für x=0.

2. Berechnung einer allgemeinen Formel für die Ableitung von f und daraus die Taylorreihe. Mit der Restlgliedformel kann man oder frau dann überprüfen, ob diese Reihe für x=0 gegen f(0) konvergiert.

Die Aufgabenstellung scheint letzteres zu verlangen.

Vielleicht kann Aufgabensteller/in mal als Vorleistung die Ableitungen von f berechnen.

Gruß

Answer 1

Also wenn man nicht mehr Infos bekommt, kann ich nur folgendes dazu sagen.

Das Taylorpolynom 3'ter Ordnung um \( x = -1 \) lautet $$  T_3 f(x,-1) =  -\frac{x+1}{2} - \frac{ (x+1)^2 }{4} - \frac{ (x+1)^3 }{8}  $$

Daraus folgt $$ T_3 f(0,-1) = -\frac{7}{8} $$

Mehr fällt mir nicht ein.

Answer 2

Hallo

du kennst die Taylorreihe um x =0 von -1/((1-x) als geometrische Reihe. die kannst du mit x+1 multiplizieren , dann hast du die TR für deine Funktion

aber. was ihr mit T(f,0,-1) meint solltest du in deinem Skript nachlesen. die TR um x=-1 sollte  eine Reihe mit (x+1)^n sein nicht mit x^n

Schreib doch bitte mal die exakte Aufgabe ab!!

Gruß lul