Taylorpolynom von f(x) mit Restglied Fehler abschätzen

Question

a) Bilden Sie von der Funktion
$$ f(x)=\ln (2 x+1) $$
das Taylorpolynom vom Grad 4 mit dem Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \)
b) Schätzen Sie mit Hilfe des Restgliedes den Fehler über \( [0,1] \) ab.

Teil a) habe ich gelöst und das Ergebnis lautet:

p4 = 2x - 2x^2 +  8/3 x^3 - 4x^4

wie finde ich b) heraus?

   

Comments

Wie lautet denn das Restglied R₄(x) ?

Answer 1

Hi,

wir nehmen mal als Restglied das Restglied von Lagrange

$$ R_nf(x;a,\xi)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}\cdot (x-a)^n $$

In Deinem Fall ergibt sich für das Lagrange Restglied mit \( f(x)=ln(2x+1)  \) und \( a=0 \)  folgendes

$$ R_5f(x;0,\xi)=\frac{32x^5}{5(2\xi+1)^5} $$

Das Restglied nimmt in \( \xi \) monoton ab, d.h. der Maximalwert wird bei \( \xi=0 \) erreicht.

D.h. \( \left| R_5f(x;0,\xi) \right|\le \frac{32}{5}x^5 \)