Restglied einer Taylor-Reihe abschätzen.

Question

Aufgabe:

$$ f : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \quad : \quad f ( x ) = \left( 1 + x ^ { 2 } \right) \cdot \arctan ( x ) $$

Davon das Taylorpolynom 2-Ordnung an der Stelle 1.

Nun soll für den Fehler gelten:

$$ \left| f ( x ) - T _ { 2 , x _ { 0 } } ( x ) \right| \text { für alle } x \text { in } | x - 1 | \leq r , 0 < r \leq 1 $$

Problem/Ansatz:

Ich hab nun die 3 Ableitung berechnet und das ganze Teilt man dann durch 3! und rechnet * (x-1)^3

Doch wie schätze ich jetzt richtig ab? Von der Bedingung für r und x bin ich verwirrt und weiß nicht wie diese zu deuten ist.

Answer 1

allgemein gilt für den Fehler beim Taylorpolynom 2. Grades

und bei dir ist ja a=1 der Entwicklungspunkt ( siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedabschätzung )

| f ''' (ξ) / 3!    *  (x-1)^3 |  mit einem ξ  zwischen 1 und x.

Die 3. Ableitung ist hier    4 / ( x^2 + 1 ) ^2   also ist der Fehler

| (2 / 3) *  1 / ( ξ^2 + 1 ) ^2     *  (x-1)^3 |

=  (2 / 3) *  1 / ( ξ^2 + 1 ) ^2     *  |x-1|^3

Und du hast ja  |x-1| < r und  r>0  also   |x-1|^3  < r^3 .

Und wenn das ξ zwischen x und 1 liegt, und x aber

höchsten2 1 von 1 entfernt liegt,   ist

0 <  ξ^2  < 2   also

1/25  < 1 / ( ξ^2 + 1 ) ^2   < 1 ,

also ist der gesamte Fehler sicher kleiner als 2/3 * r^3.

Vermutlich kann man das sogar noch besser abschätzen,

denn es sieht so aus . Der Fehler ist bei 0 am größten

und beträgt  0,285.

~plot~ (1+x^2)*atan(x);(pi+2)*x^2/4+pi/4-1/2 ~plot~

Comments

Aber wie bist du auf die Werte für Xi gekommen die es maximal annehmen kann?

Vor allem

Wie kommt man auf die filgerung am ende?

Und du hast ja  |x-1| < r und  r>0  also  |x-1|3  < r3 .

Und wenn das ξ zwischen x und 1 liegt, und x aber

höchsten2 1 von 1 entfernt liegt,  ist

0 <  ξ2  < 2  also

0< XI<2