Steckbrief: g punktsymmetrisch zum Ursprung. f und g im Urspung senkrecht aufeinander

Question

g ist eine Polynomfunktion dritten Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die Kurve f(x) = 1/8 (x^2-4x) auf der x- Achse zweimal schneidet. f und g stehen im Ursprung senkrecht aufeinander.

a.) Wie lautet die Gleichung von g

b.)Berechne den Inhalt der eingeschlossenen Flächen

Meine Frage erstens. WAs muss ich gleich wissen wenn ich punktsymmetrisch zum Ursprung höre

und was bedeutet eine waagrechte Tangente eigentlich ( Wenn eine Funktion in einem Punkt eine waagrechte Tangente hat? ==> Steigung 0 oder?

nun zurück zu meinem Beispiel

ich würde beginnen die f (x) mit 8 multiplizieren

8x²-32x=0 durch8

x²-4x=0 herausheben

x(x-4)=

x=0, x=4

Comments

Punktsymmetrisch zum Ursprung bedeutet nur ungerade Exponenten von x

g(x) = ax^3 + bx

Prüfe mal bitte f(x) und gib die Funktion richtig an.

Vielleicht so: f(x) = 1/8(x^2 - 4x)

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ja o war es gemeint! mein Fehler

Answer 1

Meine Frage erstens. WAs muss ich gleich wissen wenn ich punktsymmetrisch zum Ursprung höre

Bsp. y = 2x + 3x^3 -28x^5 - 311x^11 ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Wichtig: Es kommen keine geraden Potenzen von x vor. Auch nicht x^0.

Für dein Beispiel: y = ax^3 + bx^2 + cx + d ist klar, dass b=d=0.

 

und was bedeutet eine waagrechte Tangente eigentlich ( Wenn eine Funktion in einem Punkt eine waagrechte Tangente hat? ==> Steigung 0 oder? richtig!

 Wo ist das Quadrat bei: f(x) = 1/8 (x-4x) ?

Du hast ja jetzt einmal einen Ansatz. 

Rechnungen überprüfen kannst du schneller und automatisch mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=+1%2F8%28x%5E2+-+4x%29

Melde dich wieder, falls doch noch weitere Fragen auftauchen.

Comments

f(x) = 1/8 (x²-4x) mein Fehler!!

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hast du die Fläche auch ausgerechnet bzw. die Funktion diskutiert ?

Answer 2

f(x)= 1/8 * (x^2 - 4x) auf der x-Achse zweimal schneidet. f und g  stehen im Urspung senkrecht aufeinander

a.) WIe lautet die Gleichung von g

b.) Berechne den Inhalt der eingeschlossenen Flächen

 

f(x) hat die Nullstellen bei

f(x) = 0
x^2 - 4x = x(x - 4) = 0
x1 = 0 und x2 = 4

f(x) hat im Ursprung die Steigung 

f'(0) = x/4 - 1/2 = -1/2

Senkrecht zur Steigung m ist die Steigung -1/m. Senkrecht zur Steigung -1/2 ist also die Steigung 2.

Damit kann ich mein Polynom versuchen aufzustellen

g(x) = ax^3 + bx <--- Punktsymmetrisch zum Ursprung bedeutet nur ungerade Potenzen von x

g(0) = 0 <--- Immer erfüllt da Punktsymmetrisch zum Ursprung

g(4) = 0
64·a + 4·b = 0

g'(0) = 2
b = 2

Die Lösung ist hier a = - 1/8 ∧ b = 2

f(x)= 1/8 * (x^2 - 4x) = x^2/8 - x/2
g(x) = -x^3/8 + 2x

Skizze:

Comments

Inhalte der eingeschlossenen Flächen (2 Stück)

f(x)= 1/8 * (x² - 4x) = x²/8 - x/2 
g(x) = -x³/8 + 2x

d(x) = f(x) - g(x) = x^2/8 - x/2 - (- x^3/8 + 2·x) = x^3/8 + x^2/8 - 5·x/2
D(x) = x^4/32 + x^3/24 - 5·x^2/4

Schnittpunkte bei f(x) = g(x) bzw. d(x) = 0

d(x) = 0

x^3/8 + x^2/8 - 5·x/2 = 0
x^3 + x^2 - 20·x = 0
x1 = -5 und x2 = 0 und x3 = 4

D(0) - D(-5) = 0 - (- 1625/96) = 1625/96
D(4) - D(0) = - 28/3 - 0 = -28/3

Die Flächen betragen also 1625/96 und 28/3 und somit zusammen

1625/96 + 28/3 = 2521/96 = 26.26

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f*(o)= x/4 -1/2= -1/2 das verstehe ich nicht

und warum
g*(0)= 2 ?? kann das nicht nachvollziehen

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f'(0) = x/4 - 1/2 = -1/2

Ich bilde die erste Ableitung von f(x) und setzte dort für x 0 ein. Als Ergebnis erhalte ich -1/2. Kannst du mal die erste Ableitung bilden und dann für x 0 einsetzen und schauen was du heraus bekommst?

g'(0) = 2

Senkrecht zur Steigung m ist die Steigung -1/m. Senkrecht zur Steigung -1/2 ist also die Steigung 2. Damit muss mein g im Koordinatenursprung die Steigung 2 haben.

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ich verstehe jetzt die -1/ 2
aber das mit der Steigung hab ich noch immer nicht verstanden . kannst du mir das in der Skizze anmalen vielleicht ?

LG

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Oben ist doch eine Skizze.
Du solltest etwa erkennen können das f(x) die Steigung -1/2 im Ursprung hat.

Der andere Graph soll senkrecht dazu sein. Dann muss er die Steigung 2 haben.

Es gilt. Zwei Steigungen sind senkrecht, wenn ihr Produkt -1 ergibt.

m1 * m2 = -1

-1/2 * 2 = -1

Natürlich kann ich die Gleichung auch nach einer Unbekannten auflösen

m2 = -1/m1

Das hatte ich oben gemacht.

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ich muss ja beide Funktionen diskutieren um ueberhaupt zu den Nulstellen etc zu kommen

habe wiedermal Probleme bei dieser funkton g(x)= 2x- x³/8 ich hab sie mit 8 multipliziert

16x-x³=0

Nullstellen 4 und 0 Korrekt!

g(x)*= -3x²+16 stimmt das?

mein xwerd 4/ √3 weiter bin ich nicht gekommen :((

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d(x) = f(x) - g(x) = x2/8 - x/2 - (- x3/8 + 2·x) = x3/8 + x2/8 - 5·x/2  das Ergebnis dierser Zeile verstehe ich leider nicht

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Ja. Das ist richtig.

g(x)= 2x - x^3/8
g'(x) = 2 - 3/8·x^2
g''(x) = - 3/4·x
g'''(x) = - 3/4

Warum machst du bei den Funktionen immer ein Stern ?

g'(x) = 0
2 - 3/8·x^2 = 0
x = ±4/√3

Das musst du jetzt doch nur in g(x) einsetzen um die y-Koordinate zu bekommen

g(4/√3)= 2(4/√3) - (4/√3)^3/8 = 16/9·√3

Dann noch hinreichende Bedingung überprüfen. Das kann man sich aber eigentlich auch schenken. Bei einem Polinom mit negativem höchsten grad von 3 ist das rechte Extremum immer das Maximum und das linke das Minimum. Das sieht man wenn man sich den groben Verlauf einer negativen Funktion 3. Grades anschaut.

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d(x) = f(x) - g(x) = x^2/8 - x/2 - (- x^3/8 + 2·x) = x^3/8 + x^2/8 - 5·x/2  

das Ergebnis dierser Zeile verstehe ich leider nicht

Das heißt du verstehst nicht wie aus

x^2/8 - x/2 - (- x^3/8 + 2·x) = x^3/8 + x^2/8 - 5·x/2  

wird ?

x^2/8 - x/2 - (- x^3/8 + 2·x)

= x^2/8 - x/2 + x^3/8 - 2·x

= x^3/8 + x^2/8 - x/2 - 2·x

= x^3/8 + x^2/8 - 2.5x

= x^3/8 + x^2/8 - 5/2·x

= x^3/8 + x^2/8 - 5x/2