Punktsymmetrisch zum Ursprung oder nicht? f(x) = x³ - 5x + 1

Question

Ich befasse mich gerade mit dem Thema Symmetrie.

Aufgabe:
Untersuche, ob der Funktionsgraph symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist.

f(x) = x³-5x+1

Als erstes habe ich geprüft, ob es achsensymmetrisch ist

f(5) = 5³-5*5+1 = 101

f(-5) = (-5)³-5*(-5)+1 = -99

|101| != |99|

Es ist also nicht Achsensymmetrisch.
Wie finde ich jetzt heraus ob es Punktsymmetrisch ist? Wenn möglich mit rechenweg + erklärung, denn if dinde nur -f(-x) oder ähnlich und damit kann ich nicht viel anfangen.

 

LG :)

Comments

Habe es gerade mal versucht:

-(5³-5*5+1) = -101

Bedeutet das, dass es Punktsymmetrisch ist?

LG

Answer 1

f(x) = x^3 - 5x^1 + 1x^0

Da wir hier gerade und ungerade Exponenten von x haben ist die Funktion weder Punkt- noch Achsensymmetrisch.

Comments

Ich habe gelesen wenn alle exponenten gerade sind ists achsensymmetrisch.

Wenn alle ungerade sind ists punktsymmetrisch.

Jetzt erklärst du mir, dass es nicht symmetrisch ist wenn gerade und ungerade exponenten vorhanden sind.

Warum macht man sich dann die mühe auszurechnen ob etwas z.b. achsensymmetrisch ist? (gleicher betrag) (siehe rechnung unten)

f(5) = 5³-5*5+1 = 101

f(-5) = (-5)³-5*(-5)+1 = -99

|101| != |99|

 

LG

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Achsensymmetrie f(-x) = f(x) 

(-x)^3 - 5(-x) + 1 = x^3 - 5x + 1
-x^3 + 5x + 1 = x^3 - 5x + 1
-x^3 + 5x ≠ x^3 - 5x

Punktsymmetrie f(-x) = -f(x)

(-x)^3 - 5(-x) + 1 = - (x^3 - 5x + 1)
-x^3 + 5x + 1 = - x^3 + 5x - 1
1 ≠ - 1

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Warum macht man sich dann die mühe auszurechnen ob etwas z.b. achsensymmetrisch ist? (gleicher betrag) (siehe rechnung unten)

Weil das Ausrechnen auch für Funktionen geht, bei denen man es nicht gleich sofort sieht. Bei Polynomen brauchst du das eigentlich nicht ausrechnen, weil es dort offensichtlich ist.

Hier dient das Ausrechnen nur dem Beispiel wie man es macht, wenn es nicht gleich zu sehen ist.

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Achso! Muss bei Achsensymmetrie

x = -x

gelten und bei punktsymmetrie

x = x

?

Wenn ja dann hab ichs ja verstanden :)

 

LG

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Es gilt immer x = x und x = -x gilt nur für x = 0.

Mach also ein f(...) drum herum und schon passt es.

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Ich habe die genauen Bedingungen ja schon oben hingeschrieben gehabt.

Answer 2

f(x) = x³-5x+1

Als erstes habe ich geprüft, ob es achsensymmetrisch ist

f(5) = 5³-5*5+1 = 101

f(-5) = (-5)³-5*(-5)+1 = -99

101 ≠ 99 genügt schon: Nicht symmetrisch bezüglich y-Achse.

 

Es ist also nicht Achsensymmetrisch.

Bis hier hin ist alles richtig.

|101| ≠ |99| bedeutet, dass keine Symmetrie bezüglich (0/0) vorliegt.

Polynome sind genau dann symmetrisch bezüglich (0/0), wenn nur ungerade Potenzen von x vorkommen.

Der Summand +1 zerstört hier diese Symmetrie. Grund + 1 = 1*x^0 und 0 ist gerade.

Also: 

g(x) = x^3 - 5x ist punktsymmetrisch bezüglich (0/0)

f(x) = x^3 - 5x +1 ist um 1 in y-Richtung verschoben und deshalb punktsymmetrisch bezüglich (0/1)

Hier die Graphen von f und g:

Comments

Graphen von Polynomen dritten Grades sind immer punktsymmetrisch. Allerdings bezüglich des Wendepunktes. Und der muss nicht unbedingt in (0/0) liegen.

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Ganz allgemein: Kann es eine Symmetrie geben wenn positive und negative exponenten vorhanden sind? Denn wenn nein braucht man ja gar nicht mehr zu rechnen.

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Wenn gerade und ungerade Exponenten von x vorkommen, sind die geforderten Symmetrien (y-Achse oder Ursprung) nicht möglich.

Von negativen Exponenten habe ich nicht gesprochen. Aber auch dort musst du gerade und ungerade Exponenten unterscheiden.

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Gut, das wollte ich wissen :)

Zu deiner Aussage:

"101 ≠ 99 genügt schon: Nicht symmetrisch bezüglich y-Achse."
Müssen die 101 & 99 in Betragsstriche? (|101| |99|) .. denn es kam ja -99 raus.

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Diese Beträge kann man ausrechnen:

|101| = 101

|-99| = 99

101 ≠ 99

Falls du noch mehr zu Polynomen 3. Grades anschauen möchtest:

https://www.matheretter.de/rechner/plotlux