Thema: Logarithmische Kurvenscharen. Tiefpunkt des Graphen von f(x)=x^2 - ln x? und b) c)

Question

a) Errechnen Sie den Tiefpunkt des Graphen von f(x)=x^2 - ln x.

b) Begründen Sie außerdem anhand der Ergebnisse aus a), dass f keine Nullstellen besitzt.

d) Wie verhält sich die Funktion für x--->0 ?

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Das ist nur eine Kurve, keine Kurvenschar. Hast du ev. einen Parameter vergessen?

Answer 1

f(x)= x² - ln(x)
f '(x) = 2·x - 1/x
f ''(x) = 1/x^2 + 2

a) Extrempunkt f '(x) = 0

2·x^2 - 1 = 0
2·x^2 = 1
x^2 = 1/2
x = √(1/2)

f ''(√(1/2)) = 4 --> Tiefpunkt

f(√(1/2)) = ~0.8465735902

Tiefpunkt bei (√(1/2) ; 0.8466)

b) Nullstellen

Wenn der Tiefpunkt oberhalb der x-Achse liegt hat eine Funktion die ansonsten im Definitionsbereich stetig ist keine Nullstellen.

d) lim x→0

lim _x→0 x^2 - ln(x) = 0 - (-∞) = +∞

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