Gegeben sei die Kurvenschar fa(x) = x2 - 2ax + 1 (a∈ℝ, a>0).
c) Welche Kurven der Schar fa haben keine Nullstellen, genau eine Nullstelle?
x2 - 2ax + 1 = 0
ist eine quadratische Gleichung.
Keine Nullstelle bedeutet Diskriminante D = b^2 - 2ac < 0
Hier a = 1, b = -2a und c = 1.
Also: (-2a)^2 - 4 < 0
4a^2 < 4
a^2 < 1
|a| < 1. Nach Voraussetzung a> 0. Daher keine Lösung für 0<a<1.
Genau eine Nullstelle bedeutet Diskriminante D = b^2 - 2ac = 0
Hier a = 1, b = -2a und c = 1.
Also: (-2a)^2 - 4 = 0
4a^2 = 4
a^2 = 1
|a| = 1. Nach Voraussetzung a> 0. Daher genau eine Lösung für a=1.
b) vgl. Kommentar.
a) Versuch das mal selbst. Hier ein Anfang:
fa(x) = x2 - 2ax + 1
fa'(x) = 2x - 2a
fa''(x) = 2