Steckbriefaufgabe. Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung. Funktionsgleichung ermitteln

Question

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt T(1/-2). Wie lautet die Funktionsgleichung.

Answer 1

Überlege, welche mathematischen Darstellungen aus den folgenden Teilaussagen abzuleiten sind:

ganzrationale Funktion dritten Grades

symmetrisch zum Ursprung

Tiefpunkt T(1/-2)

Nur wenn Du verstehst, wie man an solche Aufgaben herangeht, wirst Du sie auch allein in einer Prüfung bearbeiten können!

Comments

Das ist mir so weit klar, aber ich weiß nicht was mir die Symmetrie verrät bzw. welche Formle dazu aufzustellen ist

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wie weit ist Dir was klar ?

Punktsymmetrie bedeutet: $$f(x)=-f(-x)$$

Mit welcher Funktionsgleichung fängst du denn an ?

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Ich hab zuerst die allgemeine Formel aufgestellt (ax^3+bx^2+cx+d)

Der Tiefpunkt bei x= 1.        f(1)=-2.     f'(1)= 0

Nur mir fehlen jetzt noch Formeln um das Gleichungssytem zu lösen

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Ich hab zuerst die allgemeine Formel aufgestellt (ax3+bx2+cx+d)
$$ y(x)= ax^3+bx^2+cx+d $$
Ableitung davon allgemein:
$$ y'(x)= 3ax^2+2bx+c $$
bekannte Werte für x, y und y' in diese Gleichungen einsetzen.

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Ja genau. Du hast Recht Wieso ist das so?

Reduktion infolge der Punktsymmetrie:  
Annahme: $$f(x)=-f(-x)$$
$$ f(x)= ax^3+bx^2+cx+d $$Einsetzen:
$$ax^3+bx^2+cx+d=-(a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d)$$
$$ax^3+bx^2+cx+d=-(-a(x)^3+b(x)^2-c(x)+d)$$
$$ax^3+bx^2+cx+d=+a(x)^3-b(x)^2+c(x)-d$$
$$+bx^2+cx+d=-b(x)^2+c(x)-d$$
$$+2bx^2+cx+d=+c(x)-d$$
$$+2bx^2+d=-d$$
$$+2bx^2+2d=0$$
Die Gleichung kann nur gültig sein, wenn sowohl b als auch d Null sind.
Ist dies nicht der Fall, dann handelt es sich nicht um einen Polynom mit Punktsymmetrie!$$$$
(@Fachmathematiker: ich weiss, dass es noch weitere Fälle der Betrachtung geben könnte, die erwähne ich hier aber bewusst nicht)
$$$$
Bei Punktsymmetrie im Ursprung darf also angesetzt werden:
$$ y(x)= ax^3+0 \cdot x^2+cx+ 0 \cdot d $$
$$ y(x)= ax^3+cx $$

Answer 2

Zuerst schauen, dass du nicht zu viele Unbekannte hast.

"dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems "

bedeutet. y = ax^3 + bx.

y' = 3a^2 + b

Mehr als 2 Unbekannte solltest du gar nicht in deinen Gleichungen haben.

Der Tiefpunkt bei x= 1.        f(1)=-2.     f'(1)= 0

(I) -2 = a*1 + b*1

(II) 0  =3a + b     

----------------------(II) - (I)

2 = 2a

a = 1. ==> b = -3.

f(x) = x^3 - 3x

Kontrolle: ~plot~x^3 - 3x ; x=1; -2~plot~

Answer 3

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt \(T(1|-2)\). Wie lautet die Funktionsgleichung?

Ich verschiebe den Graph um 2  Einheiten nach oben:

\(T(1|-2)\)→\(T´(1|0)\)  Hier ist eine doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a(x-1)^2(x-N)\)

symmetrisch zum Ursprung bedeutet  Hochpunkt \(H(-1|2)\)→ \(H´(-1|4)\):

\(f(-1)=a(-1-1)^2(-1-N)=4a(-1-N)\)

\(4a(-1-N)=4\)→ \(a(-1-N)=1\)      → \(a=-\frac{1}{1+N}\)

\(f(x)=-\frac{1}{1+N}(x-1)^2(x-N)\)

Ursprung \(U(0|0)\)  → \(U´(0|2)\) :

\(f(0)=-\frac{1}{1+N}(0-1)^2(0-N)=\frac{N}{1+N}\)

\(\frac{N}{1+N}=2\)     →\(N=-2\)     \(a=-\frac{1}{1-2}=1\)

\(f(x)=(x-1)^2(x+2)\)

Nun 2 Einheiten nach unten:

\(p(x)=(x-1)^2(x+2)-2\)

Answer 4

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
Punktsymmetrsch zum Ursprung  => nur ungerade Exponenten

f ( x ) = a * x^3 + c * x + d 
geht auch durch den Ursprung  => d = 0

f ( x ) = a * x^3 + c * x
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + c

f ( 1 ) = -2
f ´( 1 ) = 0

Den Rest müsstest du doch schaffen !

Comments

"Nur ungerade Exponenten" führt zum Ansatz

f ( x ) = a * x^3 + c * x

d = 0 muss nicht extra hergeleitet werden!

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georgborn: Denke dir

f ( x ) = a * x³ + b * x² + c * x^1 + d * x^0
Punktsymmetrsch zum Ursprung  => nur ungerade Exponenten

f ( x ) = a * x³ + c * x

und du weisst direkt, dass d=0 ist. 

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Georg,

Ich finde den Einwurf berechtigt. Wenn du erst schreibst nur ungerade Exponenten, dann ist es irreführend in der nächsten Zeile das d anzuführen.

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Hallo Kofi,

über was für Haarspaltereien unterhalten wir uns eigentlich hier manchmal

Ich schreibe meine Antworten für den FRAGESTELLER und auf dessen
vermutetem Kenntnisstand. Der Fragesteller Nickiiii ist mir bekannt.

f ( x ) = a * x³ + b * x² + c * x + d
Punktsymmetrisch zum Ursprung => nur ungerade Exponenten
f ( x ) = a * x³ + c * x + d
geht auch durch den Ursprung => d = 0
f ( x ) = a * x³ + c * x

ist für den Fragesteller ausreichend und nachvollziehbar.

Wenn ein Mitleser gerne eine Antwort in voller akademischer Strenge hätte
möge er diese selbst einstellen.

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@Kofi

Ich finde den Einwurf berechtigt. Wenn du erst schreibst nur ungerade Exponenten,
dann ist es irreführend in der nächsten Zeile das d anzuführen.

Ich beschäftige mich jetzt mit dieser Problematik und meine dein
Einwand  stimmt nicht

Gegeben
Funktion 3.Grades
Wendepunkt ( 0 | 3 )
Punktsymmetrisch

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
Punktsymmetrisch => nur ungerade Exponenten möglich
f ( x ) = a * x^3 + c * x + d

Zu diesem Zeitpunkt darf das d noch nicht entfernt worden sein.

Denn angenommen es handelt sich aufgrund weiterer Informationen
um die Funktion
f ( x ) = x^3 + x + 3

Wäre die Entfernung von d doch falsch gewesen.

Irgendwo ein Denkfehler ?

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In der Schule geht es bei der Kurvendiskussion meist nur um die Begrifflichkeit: Symmetrie zum Ursprung oder Symmetrie zur x-Achse.

Natürlich kannst du bei auch andere Symmetriezentren und Achsen anschauen.