Zeige, dass N(1/0), H(3/4) und W(5/2) Eckpunkte eines gleichschenkeligen Dreiecks sind.

Question

Die erste Ableitung einer Funktion dritten Grades lautet f* (x)=3/8*(x²-10x+21) . Der Graph geht durch den Punkt P(5/2)

 

a.) Wie lautet die Funktionsgleichung = haben wir schon gelöst

f(x)=1/8x³-15/8x²+63/8x+C

f**(x) =3/4x-15/4

ich brauch Hilfe im Punkt b.) c.) und d.)

Also

b.) Diskutiere die Funktion und zeichne ihren Graphen

c.) Beweise, dass die linke Nullstelle N(1/0), der Hochpunkt H(3/4) und der Wendepunkt W(5/2) Eckpunkte eines gleichschenkeligen Dreiecks sind

d.)Berechne wieviel Prozent der vom Graphen und der x-Achse begrenzten Fläche die Dreiecksfläche einnimmt

 

kann ich so anfangen:

f(x): 1/8x³-15/8x²+63/8x+C /*8

f(x)= x³-15x²+63x+8c

x(x²-15x²+63)=0

Answer 1

Die erste Ableitung einer Funktion dritten Grades lautet f* (x)=3/8*(x²-10x+21) . Der Graph geht durch den Punkt P(5/2)

Das C ist mit der Angabe des Punktes auch noch auszurechnen. Die Funktion lautet dann:

f(x) = 1/8·x^3 - 15/8·x^2 + 63/8·x - 49/8

 

Ich beschränke mich mal bei der Kurvendiskussion auf die Nennung der Ergebnisse. Wenn etwas unklar ist, dann frag bitte noch mal nach. 

Funktionsgleichung
f(x)=1/8*x^3-15/8*x^2+63/8*x+(-49)/8

1. Ableitung
f'(x)=(3*x^2-30*x+63)/8

2. Ableitung
f''(x)=(3*x-15)/4

3. Ableitung
f'''(x)=3/4

Stammfunktion
F(x)=x*(x^3-20*x^2+126*x-196)/32

Nullstellen f(x) = 0
bei x =1, x =7

Extrema f'(x) = 0

Maximum
im Punkt ( 3 | 4 ),

Minimum
im Punkt ( 7 | 0 )

Wendepunkte f''(x) = 0

Wendepunkt
bei ( 5 | 2 )

Comments

Wie berechnet man eine Wendetangente ? y=kx+d oder

k is die Steigung.? was wäre bei einem Wendepunkt von W(2/1) oder bei diesem Beispiel die Wendetangente?

was ist mit dem C geschehen woher bekommst du die -49/8

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c.) Beweise, dass die linke Nullstelle N(1/0), der Hochpunkt H(3/4) und der Wendepunkt W(5/2) Eckpunkte eines gleichschenkeligen Dreiecks sind

|NH| = √((3-1)^2 + (4-0)^2) = 2·√5

|NW| = √((5-1)^2 + (2-0)^2) = 2·√5

|HW| = √((5-3)^2 + (4-2)^2) = 2·√2

Damit sind die Seiten NH und NW gleich lang und es handelt sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

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ich versteh das nicht ganz hast du zu beginn die Funktion mit 8 multipliziert?!?! warum ist dann noch immer der 8ter im Bruch ?!

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Du braucht für eine Tangente immer eine Stelle x0. Bei der Wendetangente ist das die Wendestelle.

Weiterhin brauchst du den Funktionswert an der Stelle x0 und die Steigung (1. Ableitung) an der Stelle x0.

Damit kannst du denn die Tangente über die Punkt-Steigungsform einer Linearen Funktion aufstellen

t(x) = f '(x0) * (x - x0) + f(x0)

Ich mache das mal für das obige Beispiel

Wendestelle x0 = 5
Funktionswert f(x0) = f(5) = 2
Steigung f '(x0) = f '(5) = -3/2

Wendetangente

t(x) = f '(x0) * (x - x0) + f(x0) = -3/2 * (x - 5) + 2 = 19/2 - 3·x/2

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Ich habe nur das /8 nicht ausgeklammert sondern zu jedem Term geschrieben. Du kannst das aber auch lassen wie es war. Ich habe das nur gemacht, weil ich dann das c besser ausrechnen konnte.

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Für die Aufgabe mit der Fläche mache ich mal eine kleine Skizze:

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wie hast du das C ausgerechnet komme nicht darauf

d.) fehlt noch die Prozent

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d.)Berechne wieviel Prozent der vom Graphen und der x-Achse begrenzten Fläche die Dreiecksfläche einnimmt

Die Gesamtfläche errechnet sich über 

F(x) = x^4/32 - 5·x^3/8 + 63·x^2/16 - 49·x/8

F(7) - F(1) = 343/32 - (- 89/32) = 27/2 = 13.5

Das Dreieck ist am einfachsten zu berechnen, wenn man sich ein Rechteck drumherum denkt und dann alles was nicht zum Dreieck gehört abzieht.

A = 4 * 4 - 1/2 * 4 * 2 - 1/2 * 2 * 2 - 1/2 * 4 * 2 = 6

Prozentualer Anteil

6 / 13.5 = 4/9 = 44.44%

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Für das C hast du die allgemeine Funktion

f(x) = 1/8·x³ - 15/8·x² + 63/8·x + C

und 

f(5) = 2
f(5) = 1/8·5³ - 15/8·5² + 63/8·5 + C = 2

In der letzten Gleichung hast du nur noch C als Unbekannte. Daher ist es nicht schwer einfach nach C aufzulösen. Probier das mal.

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wie kommst du auf die Werte bei dem Flächeninhalt 4*4 -1/2 etc ???

ich verstehe auch nicht die Stammfunktion x(x³-20x²+126x-196)/32

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habe es geschafft C zu berechnen

16/8 - 65/8 = -49/8

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Das Dreieck ist am einfachsten zu berechnen, wenn man sich ein Rechteck drumherum denkt und dann alles was nicht zum Dreieck gehört abzieht.

Also . Zeichne mal das auf. Male ein Rechteck drum herum. Wie berechnest du das Rechteck und wie berechnest du die Dreiecke die du wegschneiden musst?

Was die Stammfunktion betrifft solltest du selber mal versuchen die Stammfunktion zu bilden. Dann kannst du meine Lösung mit deiner mal vergleichen.