Zeige, dass die Grundfläche ABCD ein Quadrat ist und berechne die Eckpunkte E, F, G, H der Dachfläche des Quaders.

Question

Aufgabe:

Von einem Quader kennt man drei Eckpunkte \( A, B, C \) der Grundfläche und die Höhe h.

Zeige, dass die Grundfläche \( \mathrm{ABCD} \) ein Quadrat ist und berechne die Eckpunkte \( \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H} \) der Dachfläche des Quaders. Wie viele Lösungen gibt es?

a) \( A=(9|3| 12), B=(3|11| 36), C=(-5|-13| 42), h=39 \)

b) \( A=(5|1|-4), B=(-4|3| 2), C=(2|9| 9), h=22 \)

Ansatz/Problem:

Kann mir jemand erklären wie ich die Eckpunkte berechne? Ich dachte mittels Vektorprodukt AB x BC, aber da kommt eine falsche Zahl heraus. Dann wollte ich den Vektor h bestimmen und ihn dann z. B. für E= D+ h aber das stimmt nicht.

Answer 1

A = [9, 3, 12] ; B = [3, 11, 36] ; C = [-5, -13, 42]

N = AB ⨯ AC = (B - A) ⨯ (C - A) = ([3, 11, 36] - [9, 3, 12]) ⨯ ([-5, -13, 42] - [9, 3, 12]) = [624, -156, 208] = 52·[12, 3, 4]

AE = [12, 3, 4]·39/√(12^2 + 3^2 + 4^2) = [36, 9, 12]

D = A + BC = [9, 3, 12] + ([-5, -13, 42] - [3, 11, 36]) = [1, -21, 18]

E = A + AE = [9, 3, 12] + [36, 9, 12] = [45, 12, 24]

F = B + AE = [3, 11, 36] + [36, 9, 12] = [39, 20, 48]

G = C + AE = [-5, -13, 42] + [36, 9, 12] = [31, -4, 54]

H = D + AE = [1, -21, 18] + [36, 9, 12] = [37, -12, 30]

Answer 2

.

" hab mir überlegt Vektorprodukt AB x BC aber da kommt eine falsche Zahl raus."

-->

NEIN - beim Vektorprodukt kommt keine Zahl - sondern wieder ein Vektor "raus"

ABER: die Idee mit

vec(n)=BA  X BC  ist gut ( du bekommst einen Normalenvektor zur Grundfläche)

jetzt brauchst du einen Einheitsvektor vec(e_n)  in Richtung von vec(n)

weisst du, wie du das machen kannst ?

ja? -> dann multipliziere vec(e_n) mit der Zahl h  .. und du hast einen Vektor

den du in A,B,C und D ansetzen kannst um die vier gesuchten Ecken zu erhalten

(allerdings solltest du dir noch Gedanken zur Orientierung machen ...)

ok?