Muss der Sattelpunkt bei 0/0 liegen, wenn die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist?

Question

Aufgabe:

Eine Funktion 5. Grades hat einen Sattelpunkt bei S(1|8) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Bestimmen Sie die Gleichung.

Meine eigentliche Frage ist, ob es sein kann, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist und einen Sattelpunkt bei S(1|8) hat. Bzw. anders: Muss der Sattelpunkt bei 0/0 liegen, wenn die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist?

Problem/Ansatz:

Die Ausgangsgleichung lautet: f(x) = ax⁵ + bx³ + cx, da die Funktion punktsymmetrisch ist.

Da es drei unbekannte gibt, brauchen wir drei Gleichungen:

1. f(1) = 8 => a+b+c = 8

2. f'(1) = 0 => c = 0

3. Hier stoße ich jetzt auf die Frage von Oben. Ich würde jetzt eigentlich annehmen, dass der Graph durch den Punkt P(0/0) geht, da die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Widerspricht sich das nicht mit der Aussage, dass der Sattelpunkt bei S(1|8) liegt?

Vielleicht kann da jemand Licht ins dunkle bringen, ich bedanke mich schonmal.

Answer 1

Meine eigentliche Frage ist, ob es sein kann, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist und einen Sattelpunkt bei S(1|8) hat.

Ja, das kann sein, wenn die Funktion mindestes fünften Grades ist. Dann hat sie maximal 3 Wendepunkte von denen hier zwei auch Sattelpunkte sind: S(1|8) und wegen der Punktsymmetrie auch R(-1|-8).

Muss der Sattelpunkt bei 0/0 liegen, wenn die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist?

Nein, (0|0) ist vermutlich ein Wendepunkt, der aber nicht Sattelpunkt sein muss.

Zeichne mal mit einem Plotter f(x)=3x⁵-10x³+15x.  

Answer 2

 

f'(1) = 0 => c = 0

Hier hast du irgendetwas falsch gerechnet.

Bei solchen Steckbriefaufgaben kannst du zur Kontrolle diesen

Online-Rechner  benutzen.

Rechts bei "alternative Eingabe":

 Sattelpunkt im Punkt    (1|8)

Die Punktsymmetrie (nur gerade Exponenten)  wird dort mit den Eingaben   a0=0  , a2=0  und a4=0 berücksichtigt.

Gruß Wolfgang