Zeigen Sie, dass dann auch für alle \mathbf{v} ∈ W^{\perp} gilt, dass F(\mathbf{v}) ∈ W^{\perp}

Question

Aufgabe:

(1) Wann ist \( F \) selbstadjungiert? Geben Sie die Definition an.

(2) Was ist das orthogonale Komplement \( W^{\perp} \) eines Unterraum \( W \subseteq V \) ? Geben Sie die Definition an.
(3) Angenommen \( F \) ist selbstadjungiert und \( W \subset V \) ist ein  Unterraum für den \( F(\mathbf{w}) \in W \) für alle \( \mathbf{w} \in W \) gilt. Zeigen Sie, dass dann auch für alle \( \mathbf{v} \in W^{\perp} \) gilt, dass \( F(\mathbf{v}) \in W^{\perp} \).

Problem: Zu einfach?...

(1) <Fv,w>=<v,Fw>

(2) $$ W^\perp=$$ {$$v \in V | <v,w>=0  \forall v,w \in W$$}

(3) $$ Sei v \in W^\perp  \Rightarrow <v,w>=0 \forall w \in W$$

$$Da F(w) \in W \forall w \in W gilt: <v,F(w)>=0 \forall w \in W und  da  F  selbstadj.  gilt:  $$

$$<v,F(w)>=<F(v),w>=0 \forall w \in W$$

$$F  muss  also  alle  v  \in  W^\perp  in  W^\perp  abbilden $$

Übersehe ich was? Ist die Argumentation schlüssig?

Answer 1

(3) ist richtig (aber nächstes Mal bitte Korrektur lesen vor dem Posten).

(1) und (2) aber nicht:

(1) ist unvollständig und (2) stimmt auch nicht (lies die Zeile mal laut, dann fällt es dir vielleicht auf, oder schreib's halt richtig aus den Unterlagen ab).