Hallo :-)
Zum unitären Fall kannst du dir mal wegen \(\langle f(x),x \rangle=0\) folgende Gleichheit anschauen:
\(0=\langle f(v+w),v+w \rangle\) anschauen. \(x\in V\) wird hier nur als Summe zerlegt dargestellt... Also \(x=v+w\).
Unter Ausnutzung der Linearität von \(f\) und von \(\langle .,. \rangle\) kannst du das zu
\(0=\langle f(v),w \rangle + \langle f(w),v \rangle\) bzw. zu \(\langle f(v),w \rangle=-\langle f(w),v \rangle\) umformen. (*)
Jetzt wähle dir mal \(w:=i\cdot b\)
Dann hast du
\(0=\langle f(v),i\cdot b \rangle + \langle f(i\cdot b),v \rangle\)
und damit umgeformt
\(\langle f(v),b \rangle=\langle f(b),v \rangle\)
Mit (*) ist also
\(\langle f(v),b \rangle=-\langle f(v),b \rangle \Leftrightarrow 0=2\cdot \langle f(v),b \rangle\)
Wie musst du nun \(b\) wählen, damit aus \(0=2\cdot \langle f(v),b \rangle\) schlussendlich \(f=0\) folgt? Denke an die Definitheit von \(\langle .,. \rangle\).
Der Witz an diesem Gesamtverlauf ist, sich spezielle \(x\) zu definieren, um daraus \(f=0\) schließen zu können. Das darf man deswegen hier so machen, da ja \(\langle f(x),x \rangle=0\) für alle \(x\in V\) gilt.
