( U + V ) ⊥ = U⊥ ∩ V⊥
Das ⊥ bedeutet ja wohl: alle x aus E, die mit allen y aus U + V das Skalarprodukt 0 haben.
Sei also x aus ( U + V ) ⊥
Dann gibt es ein y aus U + V mit x*y = 0
Zu dem y aus U + V gibt es nun u aus U und v aus V mit y=u+v
also x*(u+v)=0 also x*u + x*v = 0
Daraus müsste jetzt x*u=0 und x*v=0 gefolgert werden
(Das geht vermutlich durch Wahl einer Basis für U und V)
, dann wäre x in U⊥ ∩ V⊥.
Umgekehrt ist einfacher:
Sei x aus U⊥ ∩ V⊥ also x aus U⊥ und x aus V⊥
dann gibt es u aus U mit x*u=0 und v aus v mit x*v=0
also x*u + x*v = 0 + 0 = 0
damit x * (u+v) = 0 und weil u+v aus U + V also x aus ( U + V ) ⊥
( U ∩ V )⊥ = U⊥ + V⊥
Sei x aus ( U ∩ V )⊥ dann gibt es y aus U ∩ V mit x*y=0
also y aus U und y aus V.
Damit ist x aus U⊥ und x aus V⊥. und da dies Unteräume sind
auch 1/2x aus U⊥ und aus V⊥ und wegen x=1/2x + 1/2x auch x aus U⊥ + V⊥
