Sei V ungleich {0} ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei V ungleich {0} ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und U, W ungelcih {0}
zwei nichttriviale Untervektorräume von V .

(i) Sei V = U ⊕ W und sei s : V → V gegeben durch s(u + w) = u − w. Zeigen Sie,

dass s ein Isomorphismus ist.

(ii) Zeigen Sie, dass die Zuordnungsvorschrift s(u + w) = u − w keine Abbildung ist,
wenn V = U + W keine direkte Summe ist.

Comments

Hatten wir diese Frage nicht heute nochmals? Falls dort noch offen, bitte die beiden verlinken. Danke

Answer 1

(i) Erst mal zeigen: s ist wohldefiniert.

Sei also x∈V. Wegen der Direktheit der Summe gibt

es genau ein Paar (u,w)∈UxW mit x=u+w

und damit ist die Differenz u-w durch x eindeutig

bestimmt, also s eine wohldefinierte Abb.

Für Isomorphismus ist zunächst Homomorphismus

zu zeigen. Seien also x,y ∈ V und in der

Summendarstellung x=u+w und y=a+b

==>           x+y = (u+w) +(a+b) = (u+a) + (w+b)

==>       s(x+y) =  (u+a) - (w+b) = (u-w) + (a-b)=s(x)+s(y)

entsprechend gilt für  x ∈ V und k∈K

auch s( k*v) = k*s(v) also ist s∈Hom(V,V).

Und sei x ∈ Ker(s) , also s(x)=0 .

Dann gibt es (u,w)∈UxW mit x=u+w und u-w=0

also u=w also x=2*u und x=2*w

==>               x∈U und x∈W

==>              x∈U ∩W ={0}    (direkte Summe ! )

Somit Kern(s)={0} . Da s:V→V geht,

ist also s ein Isomorphismus.