Lineare Algebra: Sei V ein endlich-dimensionaler F-Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein \( \mathbb{F} \)-Vektorraum mit Basis \( v_{1}, \ldots, v_{n} \).
(a) Sei \( V \) ein endlich-dimensionaler \( \mathbb{F} \)-Vektorraum mit \( \operatorname{dim}(V)>1 . \) Zeigen Sie, dass die Menge der nicht invertierbaren linearen Abbildungen aus \( \mathcal{L}(V, V) \) kein Unterraum von \( \mathcal{L}(V, V) \) ist.
(b) Begründen Sie, weshalb die Aussage aus Teilaufgabe (a) nicht für den Fall \( \operatorname{dim}(V)=1 \) gilt.

Problem/Ansatz:

Kann mir Jemand mit diesen Aufgaben helfen?

Answer 1

Hallo,

die folgenden Matrizen wären nicht invertierbar im \(\mathbb{R}^2\):

$$\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0& 0\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0& 1\end{pmatrix}$$

Was gilt für die Summe? Was bedeutet das?

Im eindimensionalen Fall, also etwa \(V=\mathbb{R}\) sind alle linearen Abbildungen von der Form \(x \mapsto ax\) mit konstantem \(a \in \mathbb{R}\). Diese sind alle invertierbar, außer für \(a=0\).

Gruß Mathhilf