Ich soll zeigen, dass: \( cos[0, \pi] \rightarrow [-1,1] \) streng monoton fallend und bijektiv ist.
Zur Monotonie:
Seien \(x,x´ \in [0,\pi]\) mit \(0 \leq x < x´ \leq \pi\)
$$cos(x) < cos (x´) \iff cos(x)-cos(x´)<0 \iff -2sin(\frac{x+x´}{2}) \cdot sin(\frac{x-x´}{2})$$
Wir haben in der VL mit so einer ganz komischen Restgliedabschätzung gezeigt, dass für \(0<x \leq 2\) der \(sin(x)>0\) ist. Das ärgerliche ist, dass ich diesen Beweis nicht für \(0<x \leq \pi\) reproduziert bekomme, weil ich das mit der Restgliedabschätzung nicht so ganz verstehe.
Meine andere Idee zur Monotonie war:
Sei \(\epsilon >0\)
\(cos(x) < cos(x+ \epsilon)\) und dann irgendwie mit den Additionstheoremen zu arbeiten, also:
\(\cos(x+ \epsilon) = cos(x)cos(\epsilon)-sin(x)sin(\epsilon) > ... >cos(x)\), aber da muss ich ja auch irgendwie den Beweis von oben führen.
Könnte mir da vielleicht jemand helfen?
Habe von einem Freund diesen Ansatz hier bekommen:
Nach VL ist cos streng monoton fallend auf \( [0,2] \), insbesondere in \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \). Da \( \cos (\pi-x)=-\cos (x) \) ergibt sich daraus, dass cos auch streng monoton fällt auf \( \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] . \) Dann bildet cos das Intervall \( [0, \pi] \) bijektiv auf \( [-1,1] \) ab.
Was mich interessieren würde ist, warum \( \cos (\pi-x)=-\cos (x) \) impliziert, dass der cos auf das Intervall \( [0, \pi] \) abgebildet wird, das ist für mich nicht ersichtlich.
Zur Bijektivität von \(cos[0, \pi] \rightarrow [-1,1]\):
- Naja, Injektivität folgt direkt aus der strengen Monotonie
- Der \(cos(x)\) nimmt ja alle Werte im Intervall \([-1,1]\) an, also ist das ganze ja auch surjektiv, weil die Bildmenge als Wertebereich definiert ist.
Hier meine Frage: Muss ich das noch beweisen, dass der cos tatsächlich alle Werte in \([-1,1]\) annimmt (wenn ja, wie?). Oder gibt es vielleicht einen besseren Weg die Surjektivität zu zeigen?
- Bijektiv folgt dann aus injektiv und surjektiv
