Funktion mit Summenzeichen. Zeige bijektiv, streng monoton wachsend und differenzierbar, umkehrfunktion

Question

Aufgabe:

f: ℝ → ℝ, \(f(x)=e^x+\sum_{n=1}^{100}{x^{2n+1}}\)

(a): Zeigen Sie: f ist bijektiv, streng monoton wachsend und differenzierbar auf ℝ

(b): Begründen Sie, dass f^-1 auf ganz ℝ differenzierbar ist, und bestimmen Sie (f ^-1)'(1).

Problem/Ansatz:

Hab gar keine Ahnung, wie ich mit dem Summenzeichen umgehen soll.

Answer 1

Hab gar keine Ahnung, wie ich mit dem Summenzeichen umgehen soll.

Wüsstes du, wie du mit

        \(g(x) = \mathrm{e}^x + x^{2\cdot 1 + 1}+ x^{2\cdot 2 + 1}+ x^{2\cdot 3 + 1}\)

umgehen solltst? Bei \(f\) gibt's halt nur ein paar Summanden mehr.

Zeige:

1. Die Summe von streng monoton wachsenden Funktionen ist streng monoton wachsend.
   
2. Streng monoton wachsende Funktionen sind injektiv.
3. \(\lim\limits_{x\to \pm \infty}f(x) = \pm \infty\)

Damit wäre (a) erledigt.

Comments

Danke, kann ich als beweis nehmen, dass die allgemeine Potenzfunktion mit ungeradem Grad streng monoton wachsend ist?

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dass die allgemeine Potenzfunktion mit ungeradem Grad streng monoton wachsend ist?

So würde ich auch argumentieren. Und bijektiv.

Ob du es aber letztendlich für den Beweis verwenden darfst, richtet sich danach, ob es schon im Rahmen von Vorlesung oder Übung bewiesen wurde.

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Ist die Summe von bijektiven Funktionen auch Bijektiv?

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f(x) = x

g(x) = -x

h(x) = f(x) + g(x)

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Ich denke mal das ist eine ja :D Danke.
Wird bei Punkt 3 die Differenzierbarkeit gezeigt?

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h(x) = f(x) + g(x) = x + (-x) = 0 ist nicht bijektiv.

Aber der Fall kommt in deiner Aufgabe nicht vor, weil deine Summanden streng monoton steigend ist.

Differenzierbarkeit folgt aus der Differenzierarkeit der einzelnen Summanden.

Im Punkt 3 geht es um Surjektivität.

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Danke, habe (a) verstanden :)

Könnten Sie mir eventuell auch bei (b) weiterhelfen?
Da komme ich auch nicht weiter.

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Umkehrregel. Ist \(f\) bijektiv und an der Stelle \(x_0\) differenzierbar mit \(f'(x_0)\neq 0\), dann ist \(f^{-1}\) an der Stelle \(f(x_0)\) differenzierbar und es gilt \((f^{-1})'(f(x_0)) = \frac{1}{f'(x_0)}\).