Aloha :)
Wir zeigen zuerst die Differenzierbarkeit von \(\arctan(x)\) über \(x\in(-\frac\pi2;\frac\pi2)\), indem wir es einfach machen, indem wir also die üblichen Ableitungsregeln anwenden. Anschließend müssen wir prüfen, ob die erhaltene Ableitung in allen Punkten aus dem o.g. Definitionsbereich definiert ist.
Wir nutzen aus, dass sich die Wirkungen der \(\tan\)-Funktion und der \(\arctan\)-Funktion gegenseitig kompensieren:$$\tan(\arctan(x))\equiv x\quad\text{für alle }x\in\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)$$Wir leiten nun beide Seiten nach \(x\) ab. Links verwenden wir dazu die Kettenregel. Die äußere Ableitung ist mit der Quotientenregel klar:$$\tan'(x)=\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\cdot\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2(x)$$Die innere Ableitung wäre \(\arctan'(x)\). Da wir die aber nicht kennen, lassen wir sie einfach so stehen. Das heißt für die Ableitung der oben genannten Identität:$$\underbrace{(1+\tan^2(\arctan(x))}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\arctan'(x)}_{\text{innere Abl.}}\equiv1$$Wegen \(\tan(\arctan)\equiv x\) können wir die Gleichung wie folgt umstellen:$$(1+x^2)\cdot\arctan'(x)\equiv 1\quad\big|\div(1+x^2)$$$$\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$Die bestimmte Ableitung ist in allen Punkte \(x\in(-\frac\pi2;\frac\pi2)\) definiert, insbesondere ist sie in allen Punkten positiv, daher wachst die \(\arctan\)-Funktion in \(x\in(-\frac\pi2;\frac\pi2)\) streng monoton.
