Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist und bestimmen Sie f(D) .

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hänge bei den beiden Aufgaben leider fest. Ich habe den Ansatz Aufgabe (a) mit einer Fallunterscheidung zu lösen, komme jedoch nicht voran.

Text erkannt:

Es sei \( D=[-2,-1) \cup[1,2] \) und \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1 & \text { für } x \in[-2,-1) \\ x-1 & \text { für } x \in[1,2] \end{array}\right. $$
(a) Zeigen Sie, dass \( f \) streng monoton wachsend ist und bestimmen Sie \( f(D) \).
(b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion \( f^{-1}: f(D) \rightarrow D \) und zeigen Sie, dass \( f^{-1} \) unstetig in 0 ist.

Answer 1

Zu zeigen: Für alle a,b ∈ D gilt a<b ==>  f(a) < f(b) .

Seien also a,b aus D mit a<b

1. Fall :  a<b<1 ==>    f(a) = a+1  und f(b) = b+1

           und aus  a <  b  folgt durch | +1

                         a+1 < b+1

                   ==>   f(a) < f(b) .

2. Fall:  a < 1 ≤ b ==>  f(a) = a+1   und f(b) = b-1

            ==>           f(a) < 0    und f(b) ≥ 0

              also f(a) < f(b) .

3. Fall 1 ≤ a < b

   ==>   a-1 < b-1

     ==>   f(a) < f(b) .       q.e.d.

und f(D) = [ -1 ; 1 ]  .

b)  f^(-1) (x)     =   x-1  für x ∈ [-1 ; 0 )  
                      =  x+1  für x ∈ [0;1]  .