Zeigen Sie, dass ϕ genau dann injektiv ist, wenn Kern(ϕ) = {0} gilt.

Question

Moin :)

Aufgabe:

Aufgabe 6 Seien V, W K-Vektorräume und ϕ eine K-lineare Abbildung zwischen V
und W. Zeigen Sie, dass ϕ genau dann injektiv ist, wenn Kern(ϕ) = {0} gilt.

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist hier auf dem letzten Blatt:
https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~bartels/LA/Lsg.pdf

Dazu zwei Fragen:

1. Ich kann nicht nachvollziehen, warum f(~x) = f(~0) wenn direkt vorher definiert wurde dass dieses ~x UNGLEICH ~0 ist.

2. Dann im zweiten Teil: Warum folgt aus f(~x) = f(~y) = ~0 => ~x - ~y != ~?

Danke vorab.

LG Miu :)

Comments

Der Vektor x liegt im Kern f also ist f(x) = 0 per Definition vom Kern

f ist eine lineare Abbildung und bildet dementsprechend den Nullvektor auf den Nullvektor ab. D.h. f(0)=0

Also ist zusammen: f(x) = 0 = f(0)

Die Frage zum zweiten Schritt ist in dieser Form (zumindest für mich) unverständlich.

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OK, Grundsätzlich nun verstanden, dass aufgrund der Linearität der Abbildung f(x)=0=f(0).
Aber was hat es damit auf sich dass es dort auch heißt x != 0?

Zur zweiten Frage nochmal anders formuliert:

Wenn f(x)-f(y)=0, warum folgt daraus, dass x-y != 0?

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Naja x ≠ 0 wurde so gewählt. Das geht da der Kern echt die Menge {0}  umfasst. Gibt also weitere Elemente ≠0. Davon wählt man eins aus und nennt es x.

Wenn gilt x≠0 und f(x)=f(0) ist f NICHT injektiv, da bei injektiven Funktionen ein Wert nicht mehr als einmal getroffen werden kann.

Hier wird z := f(x) = f(0) aber von zwei Elementen getroffen. Nämlich von x und 0. Also kann f nicht injektiv sein.

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0=f(x)-f(y)=f(x-y) da f linear ist.

Daraus folgt jedoch nicht x≠y.

Zu Beginn des Beweises werden x und y mit den Eigenschaften x≠y und f(x)=f(y) GEWÄHLT. Das geht da f nicht injektiv ist.

Aus f(x-y) = 0 folgt dann x-y liegt in Kernf (nach Definition des Kerns)

Da x≠y also x-y≠0 und x-y in Kern f muss der Kern die Menge {0} echt umfassen.

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Das bedeutet, dass das Element x in f(x) und 0 in f(0) gar nicht das gleiche Element sind und gar nichts miteinander zu tun haben (außer natürlich dass beide im Kern sind), beide aber trotzdem auf 0 in der Zielmenge abbilden; und da die Funktion linear ist (ich dachte bis eben noch, dass eine Funktion g(y)=y+2 linear ist - deswegen wusste ich auch nicht, dass es immer so ist, dass f(0)=0...) und es in der Aussage heißt, dass es ein Element im Kern von f gibt das eben NICHT null ist, kann f nicht injektiv sein.

Hab ich das so richtig nachvollzogen?

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Zu zwei:

->"Aus f(x-y) = 0 folgt dann x-y liegt in Kernf (nach Definition des Kerns)"

Okay, verstehe ich nicht so ganz aber ich nehme das einfach mal so hin :D

Vielen Dank dir!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

\(f:V\to W\) ist \(K\)-linear, d.h.:$$(1)\;\;f(a+b)=f(a)+f(b)\quad;\quad\forall a,b\in V$$$$(2)\;\;f(\lambda a)=\lambda f(a)\quad;\quad\forall a\in V\;,\;\forall \lambda\in K$$Bei jeder linearen Abbildung wird die \(0\) auf die \(0\) abgebildet, denn$$f(0)=f(0\cdot a)=0\cdot f(a)=0$$

Wir zeigen: \(f\) injektiv \(\Longleftrightarrow\) Kern(f)=\(\{0\}\)

\("\Longrightarrow"\) Wir setzen \(f\) als injektiv voraus und nehmen an, es gibt ein \(a\ne0\) mit \(f(a)=0\):$$\phantom{"\Longrightarrow"}f(a)=0\,\land\,f(0)=0\quad\implies\quad f(a)=f(0)\quad\implies\quad a=0\;\;\text{Widerspruch}$$\(\phantom{"\Longrightarrow"}\)Der Kern besteht also nur aus der \(0\).

\("\Longleftarrow"\) Nun sei Kern\((f)=\{0\}\), d.h. nur die \(0\in V\) bildet auf die \(0\in W\) ab.

\(\phantom{"\Longleftarrow"}\)Seien \(a,b\in V\) mit \(f(a)=f(b)\), dann gilt wegen der Linearität:$$\phantom{"\Longleftarrow"}f(a)=f(b)\;\;\implies\;\;0=f(a)-f(b)=f(a-b)\;\;\implies\;\;(a-b)\in\text{Kern}(f)$$$$\phantom{"\Longleftarrow"}\!\!\!\implies\;\;a-b=0\;\;\implies\;\;a=b$$

Answer 2

1. Ich kann nicht nachvollziehen, warum f(~x) = f(~0) wenn direkt vorher definiert wurde dass dieses ~x UNGLEICH ~0 ist.

Vorher steht doch, dass der Kern nicht nur aus der Null besteht, also gibt

es ein Element ~x  aus dem Kern, das selber nicht ~0 ist.

Da es im Kern ist, ist aber f(~x) = 0 und es ist ja sowieso f(~0) =0

also gilt f(~x) = f(~0) obwohl ~x≠~0. Und das heißt ja gerade :

f ist nicht injektiv; denn 2verschiedene Elemente haben das gleiche Bild.

2. Dann im zweiten Teil: Warum folgt aus f(~x) = f(~y) = ~0 => ~x - ~y != ~?

Das x-y≠0 folgt aus dem anfangs gesetzten x≠y.

Und aus f(~x) = f(~y) = ~0 folgt  x-y=0 .

Damit ist x-y ein Element aus dem Kern, das selber nicht gleich 0 ist.