Sei ϕ: ℝ^{m} → ℝ^{n} eine lineare Abbildung. Dann gilt: dim Kern(ϕ) ≥ m − n.

Question

Wahr oder falsch:

(a) Für n ∈ ℕ mit n ≥ 3 ist die symmetrische Gruppe Sym(n) stets nicht abelsch.

(b) Für lineare Abbildungen ϕ: V → W zwischen ℚ-Vektorräumen und w ∈ W ist {v ∈ V | vϕ = w} stets ein Untervektorraum von V .

(c) Sei ϕ: ℝ^m → ℝⁿ eine lineare Abbildung. Dann gilt: dim Kern(ϕ) ≥ m − n.

(d) Jede Basis des Vektorraums ℝ^(ℕ) aller reellen Folgen, die jeweils schließlich konstant 0 sind, ist abzählbar unendlich.

(e) Jede reelle 3 × 3-Matrix besitzt wenigstens einen reellen Eigenwert.

Comments

Die Frage "wahr oder falsch?" macht aus 5 völlig zusammenhanglosen Sachverhalten keine zusammenhängende Frage.

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EDIT: Habe die Überschrift geändert und mich mal auf (c) konzentriert ;)

Answer 1

e) ist wahr, denn das charakteristische Polynom einer 3x3 Matrix hat den Grad 3 und somit wenigstens eine reelle Nullstelle.

Answer 2

(c) Sei ϕ: ℝ^{m} → ℝ^{n} eine lineare Abbildung. Dann gilt: dim Kern(ϕ) ≥ m − n.

Dürfte wahr sein. Denn dim Bild(Phi) ≤ n.

(e) Jede reelle 3 × 3-Matrix besitzt wenigstens einen reellen Eigenwert.

Welchen Grad hat denn das charakteristische Polynom einer 3 x 3 Matrix? Was bedeutet das?