Sind die Aussagen wahr oder falsch? Bsp. Sei ϕ: ℝ^m → ℝ^n eine lineare Abbildung. Dann gilt: m ≤ n?

Question

Sind die Aussagen wahr oder falsch:

a) Eine injektive Abbildung von einer endlichen Menge X in sich ist stets eine Permutation von X.

b) Eine Abbildung ϕ: V → W zwischen K-Vektorräumen heißt linear, falls (av + bw)ϕ = (aϕ)(vϕ) + (bϕ)(wϕ)

für alle a, b ∈ K und v, w ∈ V .

c) Sei ϕ: ℝ^m → ℝⁿ eine lineare Abbildung. Dann gilt: m ≤ n.

d) Der Vektorraum ℝ^ℕ aller reellen Folgen besitzt Endomorphismen, die surjektiv aber nicht injektiv sind.

e) Ist A das Produkt zweier reeller n × n Matrizen mit negativen Determinanten, so hat A selbst eine positive Determinante.

f) Für jedes n ∈ N und jedes π ∈ Sym(n) hat π höchstens n Fehlstände.

g) Sei α: V → V ein Isomorphismus des Vektorraums V in sich.
Dann ist jeder Eigenvektor von α auch ein Eigenvektor der Umkehrabbildung α⁻¹: V → V .

Answer 1

a) Eine injektive Abbildung von einer endlichen Menge X in sich ist stets eine Permutation von X.

ist wahr




b) Eine Abbildung ϕ: V → W zwischen K-Vektorräumen heißt linear, falls (av + bw)ϕ = (aϕ)(vϕ) + (bϕ)(wϕ)

für alle a, b ∈ K und v, w ∈ V .  müsste heißen ϕ (av + bw) = aϕ(v) + bϕ(w)





c) Sei ϕ: ℝm → ℝn eine lineare Abbildung. Dann gilt: m ≤ n.  falsch

d) Der Vektorraum ℝ^ℕ aller reellen Folgen besitzt Endomorphismen, die surjektiv aber nicht injektiv sind.

??????

e) Ist A das Produkt zweier reeller n × n Matrizen mit negativen Determinanten, so hat A selbst eine positive Determinante.     wahr 

f) Für jedes n ∈ N und jedes π ∈ Sym(n) hat π höchstens n Fehlstände.   ???????

g) Sei α: V → V ein Isomorphismus des Vektorraums V in sich.
Dann ist jeder Eigenvektor von α auch ein Eigenvektor der Umkehrabbildung α−1: V → V .

Ja, aber zu einem anderen Eigenwert.