Umkehrfunktion, bijektiv und monoton wachsend

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( f(x)=x e^{x} \). Zeigen Sie, dass \( f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty) \) streng monoton wachsend und bijektiv ist. Die Umkehrfunktion bezeichnen wir mit \( g \). Sei \( h(x)=\ln (g(x)), x>0 \). Berechnen Sie \( h^{\prime}(e) \).

Problem/Ansatz:

Das erste habe icb alles. Aber wie komme ich an h´(e). Also ich ahbe h´(x) klassisch abgeleitet das ist dann 1/g(x) * g´(x). Ich habe den Ableitung der Umkehrfunktion berechnet und so weiter. Ich weiß dass das Lambert W ist. Deswegen kann es nicht Ziel sein g(x) zu berechnen

Comments

Hallo

du musst doch nur nach der Kettenregel ableiten? Was hast du denn raus und was ist das "gewünschte Ergebnis"

Gruß lul

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ich habe mich falsch ausgedrückt

Answer 1

Du hast \(h'(x)\) schon richtig berechnet:

\(h'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}\)

Jetzt sollst du aber nur \(h'(e)\) bestimmen und nicht einen allgemeinen Funktionsterm für \(h'(x)\):

\(h'(e) = \frac{g'(e)}{g(e)} \quad (1)\)

Nun ist aber

\(g=f^{-1}\) und \(f(1) =1\cdot e^1 = e \Rightarrow g(e) = 1 \quad (2)\)

\(g'(e)\) bestimmst du mit der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion:

\(g'(e) = \frac{1}{f'(g(e))} = \frac{1}{f'(1)}\)

Da \(f'(x) = (1+x)e^x\) ist, erhältst du

\(g'(e) = \frac{1}{2e} \quad (3)\)

Jetzt setzen wir nur noch (2) und (3) in (1) ein und sind fertig:
\(\boxed{h'(e) = \frac 1{2e}}\)