Linear unabhängig:
sei a1 * f1 + ... + an * fn = 0 eine Linearkombination der Nullabbildung (Nullvektor von Hom(V,K))
Auf beiden Seiten stehen jetzt Abbildungen, setzen wir mal auf beiden Seiten vi ein
links bleibt ai stehen rechts 0 (Körperelement), also muss ai=0 sein. i war beliebig gewählt, also gilt das für alle i
damit a1 * f1 + ... + an * fn = 0 ==> a1 = ... = an = 0
Das heißt die Abbildungen sind linear unabhängig.
Erzeugendensystem:
Ist f : V -> K ein Homomorphismus, dann betrachte
f(v1) * f1 + ... + f(vn) * fn
Wenn wir da ein beliebiges v = b1 v1 + ... + bn vn einsetzen, erhalten wir
f(v1) b1 + ... + f(vn) bn = f( b1 v1 + ... + bn vn )
da v beliebig: f = f(v1) * f1 + ... + f(vn) * fn
rest ist klar, beide haben eine Basis der Länge n.