Zeige: Wenn V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum ist und f : V → V eine lineare Abbildung ist, dann sind die …

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, in dem 1+1 ̸ = 0 gilt. Zeige: Wenn V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum ist und f : V → V eine lineare Abbildung ist, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) 1. f^2 = idV .

(ii) V =Ker(f−idV)⊕Ker(f+idV).

Könnte mir hier bitte jemand weiterhelfen ?

Answer 1

(i) 1. f^2 = idV .    <=>   (ii) V =Ker(f−idV)⊕Ker(f+idV).

Für (ii) ==> (i) hätte ich was:

Sei x∈V ==> Es gibt u ∈ Ker(f−idV) und  w ∈ Ker(f+idV)

                   mit x = u+w

==>  (f-idV)(u) = 0   also  f(u) - u = 0  also f(u)=u

und entsprechend f(w)=-w

==>  f^2 (x) = f ( f(x)) = f (  f(u+w) ) = f (  f(u) + f ( w) )

 =  f (  u -  w )   =  f(u) - f ( w ) =  u - ( -w) = u+w = x

also f^2 = idV.