Körper K und endlich-dimensionaler K-Verktorraum. L : V → V lineare Abbildung mit Eigenschaft L2 := L ◦ L = L

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Sei L : V → V eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft L2 := L ◦ L = L.

1. Zeigen Sie, dass ker(L) ∩ im(L) = {0}.

2. Folgern Sie: V = ker(L) ⊕ im(L).

3. Zeigen Sie, dass für eine lineare Abbildung L : V → V im Allgemeinen aus dim(V ) = dim(ker(L)) + Rang(L) nicht V = ker(L) ⊕ im(L) folgt.

Problem/Ansatz:

Ich soll folgende Aufgabe lösen. Leider habe ich keine Idee/Ansatzpunkt, wie ich das am Besten umsetze.

Über eine Lösung mit Erklärung, wie ich es wieso mache wäre ich sehr dankbar

Answer 1

ker(L) ∩ im(L) = {0}.  Sei x∈ker(L) ∩ im(L)

==>  x∈ker(L)  und   x∈im(L)

==>  L(x)=0    und es gibt ein v∈V mit L(v)=x

                              ==>   L(L(v)) = L(x)

Wegen LoL=L also     auch  L(v) = L(x)

Wegen   L(x)=0     also  L(v)=0

Wegen L(v)=x   also   x=0 .

Also ker(L) ∩ im(L) ⊆ {0}

Andererseits ist 0∈ker(L) ∩ im(L) wohl klar

(Jeder Untervektorraum enthält die 0.) , also ker(L) ∩ im(L) = {0}.

2. Zeige : Für alle v∈V gibt es  x∈ker(L) und  y∈im(L)

mit v=x+y.    Tipp:  x=v-L(v) und y= L(v) .

Somit V= ker(L) + im(L). Und wegen 1 ist die Summe direkt.

Bei 3. Betrachte L:ℝ^2 →ℝ^2 mit

\(  L(\begin{array}{cccc} 1  \\ 0 \end{array}) =( \begin{array}{cccc} 0  \\ 1 \end{array} ) \) und \(  L(\begin{array}{cccc} 0  \\ 1 \end{array}) =( \begin{array}{cccc} 0  \\ 0 \end{array} ) \)