Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung. Äquivalenz zeigen?

Question

Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung.

Die Äquivalenz folgender Aussagen zeigen:

f ist diagonalisierbar;

f + id ist diagonalisierbar.

Wie zeigt man das?

Danke an die schlauen da Draußen :)

LG

Answer 1

f ist diagonalisierbar;  

Es gibt eine Basis von V, die nur aus Eigenvektoren besteht.

Nun ist aber jeder Eigenvektor von f auch ein Eigenvektor von f+id

denn wenn v ein Eigenv. zum Eigenwert k ist, dann gilt ja

f(v) = k*v   dann aber auch

(f+id)(v) = f(v) + v = k*v +v = (k+1)*v Also ist v Eigenvektor von

f+id zum Eigenwert k+1, also

f + id ist diagonalisierbar und zwar mit der gleichen Basis wie f.

Umgekehrt genauso nur wird aus den Eigenvektorn zum

Eigenwerten k bei f+id

dann jeweils ein Eigenvektor zum  Eigenwert  k-1 bei von f.