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Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass \( |\tan (x)+\tan (y)| \geq|x+y| \) für alle \( x, y \in]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \mid \) gilt. Hinweis: \( \tan (x) \) ist eine ungerade Funktion.



Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, das ich nicht weiß wie ich das zeigen soll. Würde mich über jede Hilfe freuen.

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1 Antwort

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Du brauchst hier nur einen kleine Vorzeichentrick. Außerdem ist die Ableitung \(\frac d{dt} \tan t = 1+\tan^2 t\) nützlich.

Per Mittelwertsatz (und Vorzeichentrick weil \(\tan\) ungerade) gilt

$$|\tan x + \tan y |= |\tan x - \tan (-y) | \stackrel{MWS}{=}\underbrace{(1+\tan^2 \xi)}_{\geq 1} \cdot |x -(-y)| = |x+y|$$

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