Question

Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass die folgende Funktion fuer alle x ≥ 0 gilt.

√(1 + x) ≤ 1 +1/2x

Answer 1

0 ≤ 1 +1/2x - √(1 + x)  = f(x)

es ist f(0) = 0 und

wäre f(a)   <0   für irgendein a >0 , dann gibt es nach dem Zwischenwertsatz für stetige Fkt.

auch ein bin ]0,a[ geben mit  f (b) = 0 und damit nach Mittelwertsatz

zwischen o und b ein c, mit f ' (c) = 0

aber f ' (c)=0 hieße  0,5  - 1 / (2*wurzel(1+c) = 0

also wurzel(1+c)=1   also c=0 Widerspruch