Ein Skalarprodukt <x,y> induziert immer eine Norm durch
$$ \|x\| := \sqrt{\langle x,x\rangle}$$
und diese wiederum eine Metrik
$$ d(x,y):= \|x-y\|,$$
die Umkehrungen gelten aber nicht, soll heißen: durch eine Metrik erhält man im Allg. keine Norm und durch eine Norm im Allg. kein Skalarprodukt. Letzteres ist ja eine binäre Abbildung, während die Norm nur ein Argument hat. Wie würde etwa <x,y> für verschiedene x und y aussehen? Falls es ein Skalarprodukt gibt, lässt sich dieses allerdings mithilfe der induzierten Norm schreiben (Stichwort Polarisationsformel) und eine Norm wird genau dann durch ein Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogramgleichung
$$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$$
erfüllt.