Ist ein Vektorraum der reellen n x n - Matrizen mit euklidischer Norm ein euklidischer Vektorraum?

Question

Ist ein Vektorraum der reellen n x n - Matrizen M(n,ℝ) mit euklidischer Norm ΙΙMΙΙ :=√∑M_i,j²

ein euklidischer Vektorraum?

Answer 1

Ist das genau der Wortlaut der Aufgabe? Ist mit der euklidischen Norm nicht die Standard-2er Norm gemeint?

Einen euklidischen Vektorraum hast du, wenn für das Skalarprodukt, dass auf deinem Raum gegeben ist:
-positive Definitheit
-Homogenität
-Symmetrie
-Additivität

Also betrachte dein gegebenes Skalarprodukt ( Norm zum quadrat) und gehe die Axiome durch.

Comments

Eine kleine Anmerkung: es ist hier kein Skalarprodukt vorgegeben. Durch "Norm zum Quadrat" bildet man kein Skalarprodukt, andersrum wird ein Schuh draus ;)

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Meine Aufgabe ist eine andere. Oberes benötige ich zum Verständnis für mich selbst. Letztlich fehlt mir ja ein Skalarprodukt in der Aufgabe, also stimmt meine Aussage nicht, der Vektorraum der Matrizen mit eukl. Norm ist kein euklidischer Vektorraum.

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Durch "Norm zum Quadrat" bildet man kein Skalarprodukt, andersrum wird ein Schuh draus ;) Kommentiert vor 20 Minuten von Ferragus 

Es gilt ||x|| = Wurzel(<x,x>)

Also:
||x||^2= <x,x>

Wo liege ich falsch?

"
Letztlich fehlt mir ja ein Skalarprodukt in der Aufgabe, also stimmt meine Aussage nicht, der Vektorraum der Matrizen mit eukl. Norm ist kein euklidischer Vektorraum."

Du hast doch eine Norm gegeben. Durch das von mir beschriebene Verhältnis erhältst du das Skalarprodukt deines Raumes.

Diese Skalarprodukt musst du auf die Axiome,die ich genannt habe prüfen.

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"der Matrizen mit eukl. Norm ist kein euklidischer Vektorraum."

Du kannst NICHT sagen,dass du eine euklidische Norm hast. Du hast deine Norm da ja definiert. Die euklidische Norm ist die Standardnorm:

|| x|| = Wurzel( Summe(x_i ^2) )

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Ein Skalarprodukt <x,y> induziert immer eine Norm durch
$$ \|x\| := \sqrt{\langle x,x\rangle}$$
und diese wiederum eine Metrik
$$ d(x,y):= \|x-y\|,$$
die Umkehrungen gelten aber nicht, soll heißen: durch eine Metrik erhält man im Allg. keine Norm und durch eine Norm im Allg. kein Skalarprodukt. Letzteres ist ja eine binäre Abbildung, während die Norm nur ein Argument hat. Wie würde etwa <x,y> für verschiedene x und y aussehen? Falls es ein Skalarprodukt gibt, lässt sich dieses allerdings mithilfe der induzierten Norm schreiben (Stichwort Polarisationsformel) und eine Norm wird genau dann durch ein Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogramgleichung
$$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$$
erfüllt.

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Ah.  Danke.  Dann habe ich wohl mal wieder dazu gelernt.