Bestimmen Sie charakterisches Polynom, Minimalpolynom, Eigenräume, Haupträume und A=D+N

Question

Aufgabe:

                   25  15   20
         A =     0    41  12      ∈ℝ^3x3
                    0   12   34

a) Bestimmen Sie das charakterische Polynom sowie das Minimalpolynom von A.

b) Bestimmen Sie die Eigenräume und Haupträume von A.

c) Schreiben Sie A = D + N mit einer Diagonalmatrix D und einer nilpotenten
    Matrix N

Problem/Ansatz:

zu a) ich habe bereits das charP(A)= -λ³+100λ²-3125λ+31250 und die Eigenwerte λ₁= 50 und λ₂=25

         daraus folgt die Linearfaktorzerlegung: 0 = -(λ-50)(λ-25)²

         Ich habe nun versucht das Minimalpolynom zu finden aber da minP_A=0 sein muss passen weder die

         Linearfaktoren noch das charP.

zu b) ich habe zu den Eigenwerten die Eigenräume:

                            0                                                                                  1

        E₁=  {  s · ( 4/3 ) }  für λ₁= 50, s∈ℝ                                E₂=  {  r · ( 0 ) }  für λ₂= 25, r∈ℝ

                        1                                                                                  0
                         

         Jedoch weiß ich nicht wirklich wie ich auf die Haupträume komme.

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf :)

Answer 1

Ich vertraue mal deinen Rechnungen ;-)

Für beide Eigenwerte hast du die geometrische Vielfachheit

\(\gamma(50)=\gamma(25)=1\).

Die alg. Vielfachheiten sind \(\alpha(50)=1\) und \(\alpha(25)=2\neq \gamma(25)\).

Daher muss das Minimalpolynom den Linearfaktor \((x-50)\) enthalten und

den Faktor \((x-25)^2\) enthalten. Bis auf das leidige Minuszeichen

ist also das Minimalpolynom = charakteristisches Polynom.

Der Hauptraum zum Eigenwert 25 ist der Kern von \((A-25E)^2\).