Frage: Woher kommt dieser Kern und Spann?

Question

A = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) hat das charakteristische Polynom

XA(t) = (2-t)³ - 2 (2-t) = (2-t) (t²-4t +2) und die Eigenwerte 2 und 2± \( \sqrt{2} \) in ℝ³.

Eig (A,2) = ker \( \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1  \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \) = Spann(\( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) ) 

Frage: Woher kommt dieser Kern und Spann?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Der Eigenraum zum Eigenwert \(2\) ist die Menge all derjenigen \(v\in \mathbb{R}^3\), die \(Av=2v\) erfüllen. Schreibst du das um, hast du \(Av=2v \Rightarrow (A-2E)v=\vec{0}\). Also ist \(E(A,2)=\ker(A-2E)\). Versuch mal dieses Gleichungssystem zu lösen. Dann sollte das mit dem Spann von \((1,0,-1)^T\) klarer sein. Dieser beschreibt nämlich die Lösungsmenge.