Sei n=dim(V). Aus v∈V\ker(f) folgt
f=0 und der Dimensionssatz für lineare Abbildungen ergibt
dim(ker(f))=n−1.
Ist daher b1,⋯,bn−1 eine Basis von ker(f), so gilt, da v∈/ker(f):
{b1,⋯,bn−1,v} ist eine Menge von n linear unabhängigen Vektoren
und daher eine Basis von V, also
V=(Kb1⊕⋯⊕Kbn−1)⊕Kv=ker(f)⊕span(v)