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Aufgabe:

Sei V\mathcal{V} ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, f : VKf : \mathcal{V} \rightarrow K eine lineare
Abbildung und vVKern(f)v \in \mathcal{V} \setminus \text{Kern}(f). Zeigen Sie, dass dann V\mathcal{V} = Kern(ff) \oplus Span(vv) gilt.


Problem/Ansatz:

Ich beschäftige mich momentan etwas mehr mit Kern-Aufgaben, da ich nicht so gut darin bin. Hier konnte ich nichts hinbekommen. Könnte mir hier jemand helfen?

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Nach Dimensionsformel gilt

Dim V = Dim Kern f + Dim Bild f

Da ein v in V \ Kern f existiert ist. Folgt Dim Kern f < Dim V

Da Dim Bild f <= Dim K = 1 muss also Dim Kern f = Dim V - 1 sein

=> Dim (Kern(f) + Span(v)) = Dim V

=> Kern f + Span v = V

Der Schnitt von Kern f und Span v ist auch trivialerweise {0}.

Also Kern f ⊕ Span v = V

2 Antworten

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Wenn die Behauptung stimmt, gibt es für jedes xVx \in V eine Darstellung x=sv+wx=sv+w mit sKs \in K und wKern(f)w \in Kern(f). Dadurch wäre s eindeutig bestimmt:

0=f(w)=f(xsv)=f(x)sf(v)s=f(x)f(v)0=f(w)=f(x-sv)=f(x)-sf(v) \Rightarrow s=\frac{f(x)}{f(v)}

Daher ist die behauptete Darstellung



xV : x=f(x)f(v)v+(xf(x)f(v)v)\forall x \in V: \quad x=\frac{f(x)}{f(v)}v+(x-\frac{f(x)}{f(v)}v)

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Sei n=dim(V)n=\dim(V). Aus vV\ker(f)v\in V \backslash \ker(f) folgt

f0f\neq 0 und der Dimensionssatz für lineare Abbildungen ergibt

dim(ker(f))=n1dim(\ker(f))=n-1.

Ist daher b1,,bn1b_1,\cdots,b_{n-1} eine Basis von ker(f)\ker(f), so gilt, da vker(f)v\notin \ker(f):

{b1,,bn1,v}\{b_1,\cdots,b_{n-1}, v\} ist eine Menge von nn linear unabhängigen Vektoren

und daher eine Basis von VV, also

V=(Kb1Kbn1)Kv=ker(f)span(v)V=(Kb_1\oplus \cdots \oplus Kb_{n-1}) \oplus Kv=\ker(f)\oplus span(v)

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