Text erkannt:
(4) \( (5+5 \) Punkte) Es sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum.
(a) Es sei \( f \in \operatorname{End}(V) \) mit \( f^{2}=f \). Zeigen Sie, dass gilt \( V=\operatorname{im}(f) \oplus \operatorname{ker}(f) \).
(b) Es sei umgekehrt \( V=U \oplus W \) eine direkte Summe von Untervektorräumen \( U \) und \( W \). Zeigen Sie, dass es genau ein \( f \in \operatorname{End}(V) \) gibt, sodass \( f^{2}=f, \operatorname{im}(f)=U \) und \( \operatorname{ker}(f)=W \) gelten.
Aufgabe:
