Zeigen Sie, dass dann \mathcal{V} = Kern( f ) \oplus Span(v) gilt.

Question

Aufgabe:

Sei \(\mathcal{V}\) ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, \(f : \mathcal{V} \rightarrow K\) eine lineare
Abbildung und \(v \in \mathcal{V} \setminus \text{Kern}(f)\). Zeigen Sie, dass dann \(\mathcal{V}\) = Kern(\(f\)) \(\oplus\) Span(\(v\)) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich beschäftige mich momentan etwas mehr mit Kern-Aufgaben, da ich nicht so gut darin bin. Hier konnte ich nichts hinbekommen. Könnte mir hier jemand helfen?

Comments

Nach Dimensionsformel gilt

Dim V = Dim Kern f + Dim Bild f

Da ein v in V \ Kern f existiert ist. Folgt Dim Kern f < Dim V

Da Dim Bild f <= Dim K = 1 muss also Dim Kern f = Dim V - 1 sein

=> Dim (Kern(f) + Span(v)) = Dim V

=> Kern f + Span v = V

Der Schnitt von Kern f und Span v ist auch trivialerweise {0}.

Also Kern f ⊕ Span v = V

Answer 1

Wenn die Behauptung stimmt, gibt es für jedes \(x \in V\) eine Darstellung \(x=sv+w\) mit \(s \in K\) und \(w \in Kern(f)\). Dadurch wäre s eindeutig bestimmt:

$$0=f(w)=f(x-sv)=f(x)-sf(v) \Rightarrow s=\frac{f(x)}{f(v)}$$

Daher ist die behauptete Darstellung

$$\forall x \in V: \quad x=\frac{f(x)}{f(v)}v+(x-\frac{f(x)}{f(v)}v)$$

Answer 2

Sei \(n=\dim(V)\). Aus \(v\in V \backslash \ker(f)\) folgt

\(f\neq 0\) und der Dimensionssatz für lineare Abbildungen ergibt

\(dim(\ker(f))=n-1\).

Ist daher \(b_1,\cdots,b_{n-1}\) eine Basis von \(\ker(f)\), so gilt, da \(v\notin \ker(f)\):

\(\{b_1,\cdots,b_{n-1}, v\}\) ist eine Menge von \(n\) linear unabhängigen Vektoren

und daher eine Basis von \(V\), also

\(V=(Kb_1\oplus \cdots \oplus Kb_{n-1}) \oplus Kv=\ker(f)\oplus span(v)\)