Inhomogene lineare DGL 1.Ordnung mittels Variation der Konstanten lösen.

Question

ich habe folgende DGL: xy-y'=sin(2x) und diesen Lösungsansatz:

Zugehörige homogene DGL lösen

xy-y'=0           I +y'

y'=xy               I y'=dy/dx

dy/dx=xy        I  *dx I /y

1/y *dy = x * dx  I Integrieren

ln(y)= 1/2 *x² +ln(C)    I C∈ℝ I - ln(C)

ln(y/C) = 1/2 * x² I e⁽⁾

y/C = e^{1/2*x^2} I *C

y= C*e^{1/2*x^2} I Variation der Konstanten

y= C(x)* e^{1/2 * x^2} I 1. Ableitung bilden

y' = u' * v + v' * u I u= e^{1/2*x^2} ; u'= x*e^{1/2*x^2} ; v= C(x) ; v'= C'(x)

y' = C(x)*x*e^{1/2*x^2}+ C'(x) * e^{1/2*x^2} 

y und y' in die inhomogene DGL einsetzen

sin(2x)= C(x)*x*e^{1/2*x^2} - C(x)*x * e^{1/2*x^2} + C'(x) * e^{1/2*x^2}

sin(2x)=C'(x) * e^{1/2*x^2} I /e^{1/2*x^2}

sin(2x)* e^{-1/2*x^2}= C'(x) I Produktintegration

C(x)= u*v-∫u'*v I u= sin(2x) ; u'= 2*cos(2x) ; v' = e^{-1/2*x^2} ; v= -1/x * e^{-1/2*x^2}

C(x)= sin(2x)*(-1)*1/x*e^{-1/2*x^2}-∫ 2*cos(2x)*(-1) *1/x*e^{-1/2*x^2}

Ok und ab diesem Zeitpunkt weiß ich nicht mehr weiter. Ich habe auch schon versucht u und v' zu tauschen, das hat allerdings auch nichts gebracht. Jetzt frage ich mich, was ich falsch gemacht haben könnte oder ob die DGL überhaupt lösbar ist (zumindest mit der Produktintegration)? Wenn man diese DGL nicht mit der Produktintegration lösen kann, dann würde ich gerne wissen weshalb das nicht geht? Achso, ich bin mir sicher, dass es mit der partikulären Lösung einfacher geht, aber ich möchte die Aufgabe gerne mit dieser Variante lösen :).

Answer 1

Variation der Konstanten ist schon richtig. Abgesehen vom Minuszeichen habe ich auch dieses Integral erhalten

Die Lösung dieses Integrales geht über die Gaußsche Fehlerfunktion und ist nicht mit den herkömmlichen Methoden integrierbar. (ist nicht geschlossen integrierbar)

Hast Du die Aufgabe richtig abgechrieben?

Ich habe den 1. Teil mal weggelassen y_h ist ja klar.

Comments

Super danke erstmal und die Aufgabe ist definitiv richtig. Uns wurde allerdings im voraus gesagt, dass die Aufgabe möglicherweise nicht mittels Produkintegration möglich ist und falls das der Fall sein sollte, sollten wir herausfinden weshalb das so ist. Kannst du mir dabei vielleicht noch helfen?

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Über Produktintegration kannst Du das Integral nicht lösen , egal wie Du u' und v wählst, das stimmt.

Versantwortlich für das Scheitern ist die Gaußsche Fehlerfunktion.

Frage: Hat diese Aufgabe einen besonderen Hintergrund? Wie weit seit Ihr in der Vorlesung mit DGL ?

Hat der Dozent diese Aufgabe erfunden?

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Ok die Gaußsche Fehlerfunktion sagt mir jetzt erstmal nichts, aber das kann man ändern :). Vielen dank nochmal.

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Naja, das war eigentlich nur eine Hausaufgabe, die uns unser Mathelehrer aufgegeben hat. Den genauen Hintergrund hoffe ich allerdings noch zu erfahren. Und ja er hat sie erfunden :D.

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dachte ich  mir

:-)