y´+y/(1+x)= e^(2x) Variation der Konstanten

Question

Hallo liebe Mathe Community,

Zu der Aufgabe:

Wie berechne ich eine Differenzialgleichung 1.Ordnung mit dem Verfahren "variation der konstanten"? Zum Beispiel: eine inhomogene : y´+y/(1+x)= e^(2x)

Problem/Ansatz:

Wie erkenne ich eine DGL die mit diesem Verfahren berechnet werden muss?

Könntet ihr es mir an diesem Beispiel einmal zeigen oder grob erklären?

Vielen dank :)

Answer 1

Hallo,

Wie erkenne ich eine DGL die mit diesem Verfahren berechnet werden muss?
Es gilt allgemein: y' +A(x) y= B(x)

1.homogene DGL berechnen:

y' +y/(x+1)=0 ->Trennung der Variablen

dy/y= (-dx)/(x+1)

ln|y| = -ln|x+1|+C

y_h= C₁/(x+1)

2. Setze C₁= C(x)

y_p= C(x)/(x+1)

y_p'= C'(x) *1/(x+1)-C(x) 1/(x+1)^2

3.Setze yp und yp' in die DGL ein

C'(x)/(x+1) -C(x)/(x+1)^2 +C(x)/(x+1)^2  =e^(2x)

dabei muß C(x) herausfallen, wenn Du richtig gerechnet hast

C'(x)= (x+1)e^(2x) part. Integration

C(x)=e^(2x)/4 *(2x+1)

4. y_p= C(x)/(x+1) =e^(2x)/4 * (2x+1)/(x+1)

5. y= y_h+y_p

Lösung: y= C₁/(x+1) +e^(2x)/4 * (2x+1)/(x+1)

Comments

was wäre am Beispiel: y´*cos(x)-y*sin(x)=1 ?

auch Variation der Konstanten ? Aber wahrscheinlich soll der homogene Teil nicht mit "Trennung der Variablen erfolgen".

---

auch Variation der Konstanten ? Ja

---

Vielen Dank !

Ich hab bei der 2.DGl

yh= c*cos(x)

yp= K(x)*cos(x)

  =tan(x) *cos(x)

y= cos(x)*(tan(x)+c)

---

yh ist falsch, ich habe yh= C₁/cos(x)

---

Vielen dank. Meinen Fehler habe ich sofort endeckt.Sie haben mir sehr geholfen !

yh= c/cos(x)

yp= x/cos(x)

y= c+x/(cos(x)) ?

---

yh=C1/cos(x)

yp=C(x)/cos(x)

yp'= C'(x)/cos(x) +C(x) sin(x)/cos^2(x)

yp' und yp in die DGLeingesetzt und vereinfacht:

C'(x)=1

C(x)=x

--------> yp=C(x)/cos(x) = x/cos(x)

y=yh+yp

y=C1/cos(x) +x/cos(x)

---

Vielen dank :)

Kann ich dir noch weitere Fragen stellen zu DGL´s?

---

ja, aber dann bitte einen neuen Beitrag erstellen, weil das sonst durcheinander geht

---

Hallo,

Vielen dank für die Hilfe.

ich hab noch die DGL: y´+(7/x)*y = ln(x)

mit welchem Verfahren würden Sie da vorgehen?

yh= c*(-7*1/x)

---

das geht mit "Variation der Konstanten" , so wir Du das schon 2 Mal gerechnet hast.

homogene DGL:  y´+(7/x)*y =0 usw siehe oben

ich habe yh = C1/x^7 erhalten

---

danke also yh= c*(1/(x^7)

            bei yp habe ich schwierigkeiten bei der quotientenregel, wie soll es da aussehen?

---

yp=C(x)/x^7

yp'= C'(x)/x^7 -C(x) *(7/x^8)

eingesetzt in die DGL und zusammengefasst:

C'(x) = ln(x) *x^7 ->part.Integration

C(x)= (x^8/8) ln (x) -x^8/64

->

yp=C(x)/x^7 =(x/8) *ln(x) -x/64

y=yh+yp

y=C(x)/x^7 + (x/8) *ln(x) -x/64